Нормальное распределение

Норма́льное распределение

Одно из важнейших распределений (См. Распределение) вероятностей. Термин «Н. р.» применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распредслениям случайных векторов).

Распределение вероятностей случайной величины Х называется нормальным, если оно имеет Плотность вероятности

. (*)

Семейство Н. р. (*) зависит, т. о., от двух параметров а и σ. При этом Математическое ожидание Х равно а, Дисперсия Х равна σ². Кривая Н. р. у = р (х; а, σ) симметрична относительно ординаты, проходящей через точку х = а, и имеет в этой точке единственный максимум, равный . С уменьшением σ кривая Н. р. становится всё более и более островершинной (см. рис.). Изменение а при постоянном σ не меняет форму кривой, а вызывает лишь её смещение по оси абсцисс. Площадь, заключённая под кривой Н. р., всегда равна единице. При a = 0, σ = 1 соответствуюшая функция распределения равна

.

В общем случае функция распределения Н. р. (*) F (х; а, σ) может быть вычислена по формуле F (x; а, σ) = Ф (t), где t = (х — а)/σ. Для функции Ф (t) (и нескольких её производных) составлены обширные таблицы. Для Н. р. вероятность неравенства , равная 1— Ф (k)+ Ф (— k), убывает весьма быстро с ростом k (см. таблицу).

Во многих практических вопросах при рассмотрении Н. р. пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих 3σ, — т. н. правило трёх сигма (соответствующая вероятность, как видно из таблицы, меньше 0,003). Вероятное отклонение для Н. р. равно 0,67449σ.

Н. р. встречается в большом числе приложений. Издавна известны попытки объяснения этого обстоятельства. Теоретическое обоснование исключительной роли Н. р. дают Предельные теоремы теории вероятностей (см. также Лапласа теорема, Ляпунова теорема). Качественно соответствующий результат может быть объяснён следующим образом: Н. р. служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из которых мала по сравнению со всей суммой.

Н. р. может появляться также как точное решение некоторых задач (в рамках принятой математической модели явления). Так обстоит дело в теории случайных процессов (См. Случайный процесс) (в одной из основных моделей броуновского движения (См. Броуновское движение)). Классические примеры возникновения Н. р. как точного принадлежат К. Гауссу (закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (закон распределения скоростей молекул).

Совместное распределение нескольких случайных величин X₁, X₂,..., X_s называется нормальным (многомерным нормальным), если соответствующая плотность вероятности имеет вид:

, где ,

q_{k, l} = q_{l, k} — положительно определенная квадратичная форма. Постоянная С определяется из того условия, что интеграл от р по всему пространству равен 1. Параметры a₁,..., a_s равны математическим ожиданиям X₁,..., X_s соответственно, а коэффициент q_{k, l} могут быть выражены через дисперсии σ₁²,..., σ_s² этих величин и коэффициент корреляции (См. Корреляция) σ_{k, l} между X_k и X_l. Общее количество параметров, задающих Н. р., равно

(s + 1)(s + 2)/2 — 1

и быстро растет с ростом s (оно равно 2 при s = 1, 20 при s = 5 и 65 при s = 10). Многомерное Н. р. служит основной моделью статистического анализа многомерного (См. Статистический анализ многомерный). Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматривают также Н. р. в бесконечномерных пространствах).

О вопросах, связанных с оценкой параметров Н. р. по результатам наблюдений, см. статьи Малые выборки и Несмещенная оценка (См. Несмещённая оценка). О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы (в математической статистике).

Лит. см. при ст. Распределения.

Ю. В. Прохоров.

Кривые плотности нормального распределения для различных значений параметров а и σ: I. а = 0, σ = 2,5; II. a = 0, σ = 1; III. a = 0, σ = 0,4; IV. a = 3, σ = 1.