Корреляция

I

Корреля́ция (от позднелат. correlatio — соотношение)

термин, применяемый в различных областях науки и техники для обозначения взаимозависимости, взаимного соответствия, соотношения понятий, предприятий, предметов, функций. См. также Корреляция в математической статистике, Корреляция в биологии, Корреляция в лингвистике.

II

Корреля́ция

в математической статистике, вероятностная или статистическая зависимость, не имеющая, вообще говоря, строго функционального характера. В отличие от функциональной, корреляционная зависимость возникает тогда, когда один из признаков зависит не только от данного второго, но и от ряда случайных факторов или же когда среди условий, от которых зависят и тот и другой признаки, имеются общие для них обоих условия. Пример такого рода зависимости даёт корреляционная таблица. Из таблицы видно, что при увеличении высоты сосен в среднем растет и диаметр их стволов; однако сосны заданной высоты (например, 23 м) имеют распределение диаметров с довольно большим рассеянием. Если в среднем 23-метровые сосны толще 22-метровых, то для отдельных сосен это соотношение может заметным образом нарушаться. Статистическая К. в обследованной конечной совокупности наиболее интересна тогда, когда она указывает на существование закономерной связи между изучаемыми явлениями.

В основе теории К. лежит предположение о том, что изучаемые явления подчинены определённым вероятностным закономерностям (см. Вероятность, Вероятностей теория). Зависимость между двумя случайными событиями проявляется в том, что условная вероятность одного из них при наступлении другого отличается от безусловной вероятности. Аналогично, влияние одной случайной величины на другую характеризуется законами условных распределений первой при фиксированных значениях второй. Пусть для каждого возможного значения Х = х определено условное математическое ожидание у (х) = Е (YIX = х) величины Y (см. Математическое ожидание). Функция у (х) называется регрессией величины Y по X, а её график — линией регрессии Y по X. Зависимость Y от Х проявляется в изменении средних значений Y при изменении X, хотя при каждом Х = х величина Y остаётся случайной величиной с определенным рассеянием. Пусть m_Y = Е (Y) — безусловное математическое ожидание Y. Если величины независимы, то все условные математические ожидания Y не зависят от х и совпадают с безусловными:

у (х) = Е (YIX = х) = Е (Y) = m_Y.

Обратное заключение не всегда справедливо. Для выяснения вопроса, насколько хорошо регрессия передаёт изменение Y при изменении X, используется условная дисперсия Y при данном значении Х = х или её средняя величина — дисперсия Y относительно линии регрессии (мера рассеяния около линии регрессии):

².

При строгой функциональной зависимости величина Y при данном Х = х принимает лишь одно определенное значение, то есть рассеяние около линии регрессии равно нулю.

Линия регрессии может быть приближённо восстановлена по достаточно обширной корреляционной таблице: за приближённое значение у (х) принимают среднее из тех наблюдённых значений Y, которым соответствует значение Х = х. На рисунке изображена приближённая линия регрессии для зависимости среднего диаметра сосен от высоты в соответствии с таблицей. В средней части эта линия, по-видимому, хорошо выражает действительная закономерность. Если число наблюдений, соответствующих некоторым значениям X, недостаточно велико, то такой метод может привести к совершенно случайным результатам. Так, точки линии, соответствующие высотам 29 и 30 м, ненадёжны ввиду малочисленности материала. См. Регрессия.

В случае К. двух количественных случайных признаков обычным показателем концентрации распределения вблизи линии регрессии служит корреляционное отношение

,

где — дисперсия Y (аналогично определяется корреляционное отношение , но между и нет какой-либо простой зависимости). Величина η²_y|x, изменяющаяся от 0 до 1, равна нулю тогда и только тогда, когда регрессия имеет вид у (x) = m_Y, в этом случае говорят, что Y некоррелирована с X, η²_y|x равняется единице в случае точной функциональной зависимости Y от X. Наиболее употребителен при измерении степени зависимости коэффициент корреляции между Х и Y

всегда —1 ≤ ρ ≤ 1. Однако практическое использование коэффициента К. в качестве меры зависимости оправдано лишь тогда, когда совместное распределение пары (X, Y) нормально или приближённо нормально (см. Нормальное распределение); употребление ρ как меры зависимости между произвольными Y и Х приводит иногда к ошибочным выводам, т. к. ρ может равняться нулю даже тогда, когда Y строго зависит от X. Если двумерное распределение Х и Y нормально, то линии регрессии Y по Х и Х по Y суть прямые у = m_Y+β_Y (x — mx) и х = mx+β_x (у — m_Y), где и ; β_Y и β_X именуются коэффициентами регрессии, причём

.

Так как в этом случае

Е (Y — y (x))² = σ²_Y (1 - ρ²)

и

Е (Y — x (y))² = σ²_X (1 - ρ²)

то очевидно, что ρ (корреляционные отношения совпадают с ρ² полностью определяет степень концентрации распределения вблизи линий регрессии: в предельном случае ρ = ± 1 прямые регрессии сливаются в одну, что соответствует строгой линейной зависимости между Y и X, при ρ = 0 величины не коррелированы.

Корреляция между диаметрами и высотами 624 стволов северной сосны

При изучении связи между несколькими случайными величинами X₁,..., X_n пользуются множественными и частными корреляционными отношениями и коэффициентами К. (последними по-прежнему в случае линейной связи). Основной характеристикой зависимости являются коэффициенты ρ_ij — простые коэффициенты К. между X_i и X_j, в совокупности образующие корреляционную матрицу (ρ_ij) (очевидно, ρ_ij = ρ_ji и ρ_kk = 1). Мерой линейной К. между X₁ и совокупностью всех остальных величин X₂,..., X_n служит множественный коэффициент К., равный при n = 3

.

Если предполагается, что изменение величин X₁ и X₂ определяется в какой-то мере изменением остальных величин X₃,..., X_n, то показателем линейной связи между X₁ и X₂ при исключении влияния X_3,..., X_n; является частный коэффициент К. X₁ и X₂ относительно X₃,..., X_n, равный в случае n= 3

Множественные и частные корреляционные отношения выражаются несколько сложнее.

В математической статистике разработаны методы оценки упомянутых выше коэффициентов и методы проверки гипотез об их значениях, использующие их выборочные аналоги (выборочные коэффициенты К., корреляционные отношения и т. п.). См. Корреляционный анализ.

Лит.: Дунин- Барковский И. В., Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика в технике (Общая часть), М., 1955; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Хальд А., Математическая статистика с техническими приложениями, пер. с англ., М., 1956; Ван дер Варден Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; Митропольский А. К., Техника статистических вычислений, 2 изд., М., 1971.

А. В. Прохоров.

Приближённая линия регрессии для зависимости среднего диаметра северной сосны от высоты.

III

Корреля́ция

стратиграфическая, сопоставление друг с другом одновозрастных слоев осадочных и вулканических горных пород и привязка их к подразделениям единой стратиграфической шкалы; сопоставление может охватывать как отдельные разрезы буровых скважин частных нефтеносных площадей или отдельных месторождений (углей, солей и др.), так и обширные площади и даже нескольких материков (телекорреляция и межконтинентальная К.). При К. используются всевозможные методы сопоставления — прослеживания маркирующих пластов и их пачек, данные каротажа, биостратиграфический метод, изотопные определения возраста горных пород (см. Геохронология). В результате К. составляется стратиграфическая схема, в левой части которой наносятся подразделения единой стратиграфической шкалы, а в правой — стратиграфическая схема отложений, встреченных в изучаемом районе.

IV

Корреля́ция

в биологии, взаимозависимость строения и функций клеток, тканей, органов и систем организма, проявляющаяся в процессе его развития и жизнедеятельности. К. обусловливают развитие и существование организма как единого целого. Понятие К. было введено Ж. Кювье (1800—05), однако, не принимая эволюционного учения, он придал К. статичный характер: К. — свидетельство постоянства сосуществования органов.

Эволюционное учение придало К. динамический, исторический характер: взаимосвязь частей организма — результат как онтогенетический, так и филогенетический их развития. С эволюционных позиций проблема К. разрабатывалась А. Н. Северцовым; наиболее глубокое понимание её было дано И. И. Шмальгаузеном. Различается несколько форм К.: геномная К., обусловленная множественным действием наследственных факторов (Плейотропия), а также действием более тесно связанных между собой генов (хромосомная К.); морфогенетическая К. — взаимозависимость во внутренних факторах индивидуального развития. При этом имеет место связь между двумя или многими морфогенетическими процессами. Так, было показано, что зачаток хордомезодермы (См. Хордомезодерма) оказывается индуктором, определяющим развитие центральной нервной системы, глазной бокал индуцирует хрусталик и т. д. Морфогенетические К. определяют место и размеры развивающегося органа. Т. к. морфогенетические процессы приводят к изменению взаимоотношений органов, то возникают и новые морфогенетические К. Т. о., в процессе индивидуального развития постепенно развёртывается последовательная система морфогенетических К., которая оказывается одним из главных факторов Онтогенеза, поддерживающих в течение всего развития целостность организма. Данные, накопленные биологией развития (См. Биология развития), позволили некоторым авторам подразделить эти К. на ростовые К., зависящие от активности нервной системы, функциональные (эргонтические), гормональные и др. Филогенетические, или филетические, К. — соотносительные изменения органов в процессе эволюции организмов — А. Н. Северцов выделил как самостоятельное явление (см. Координация).

Лит.: Шмальгаузен И. И., Основы сравнительной анатомии позвоночных животных, 4 изд., М., 1947; его же, Организм, как целое в индивидуальном и историческом развитии, М.— Л., 1942; Северцов А. Н., Морфологические закономерности эволюции, М., 1949 (Собр. соч., т. 5); Balinsky В. Т., An introduction to embryology, 2 cd., Phil.— L., 1965.

А. А. Махотин.

V

Корреля́ция

в лингвистике, противопоставленность или сближение единиц языка по определённым свойствам (на всех уровнях языковой системы). Более всего развита теория фонологической К. (чередование фонем, с которым связано какое-либо морфологическое различие, или образующее соотносительные ряды, которые противополагаются по одному какому-либо различительному признаку). Различают понятия коррелятивной пары (франц. а — а, o — o, е — е, œ̃ — œ), признака (назализация во франц., лабиовеляризация в языках шона семьи банту), ряда (a, o, e,œ̃), пучка (в арчинском яз. шестичленный z — s — ts — ts'— `ts — `s ) и др.