Непараметрические методы

Непараметри́ческие методы

В математической статистике, методы непосредственной оценки теоретического распределения вероятностей и тех или иных его общих свойств (симметрии и т.п.) по результатам наблюдений. Название Н. м. подчёркивает их отличие от классических (параметрических) методов, в которых предполагается, что неизвестное теоретическое распределение принадлежит какому-либо семейству, зависящему от конечного числа параметров (например, семейству нормальных распределений (См. Нормальное распределение)), и которые позволяют по результатам наблюдений оценивать неизвестные значения этих параметров и проверять те или иные гипотезы относительно их значений. Разработка Н. м. является в значительной степени заслугой советских учёных.

В качестве примера Н. м. можно привести найденный А. Н. Колмогоровым способ проверки согласованности теоретических и эмпирических распределений (так называемый критерий Колмогорова). Пусть результаты n независимых наблюдений некоторой величины имеют функцию распределения F (x) и пусть F_n (x) обозначает эмпирическую функцию распределения (см. Вариационный ряд), построенную по этим n наблюдениям, a D_n — наибольшее по абсолютной величине значение разности F_n (x) — F (x). Случайная величина

имеет в случае непрерывности F (x) функцию распределения K_n (λ), не зависящую от F (x) и стремящуюся при безграничном возрастании n к пределу

Отсюда при достаточно больших n, для вероятности p_n,_λ. Неравенства

получается приближённое выражение

p_n,λ — 1 — К (λ). (*)

Функция К (λ) табулирована. Её значения для некоторых А приведены в табл.

Таблица функции К (λ)

Равенство (*) следующим образом используется для проверки гипотезы о том, что наблюдаемая случайная величина имеет функцию распределения F (x): сначала по результатам наблюдений находят значение величины D_n, а затем по формуле (*) вычисляют вероятность получения отклонения F_n от F, большего или равного наблюдённому. Если указанная вероятность достаточно мала, то в соответствии с общими принципами проверки статистических гипотез (см. Статистическая проверка гипотез) проверяемую гипотезу отвергают. В противном случае считают, что результаты опыта не противоречат проверяемой гипотезе. Аналогично проверяется гипотеза о том, получены ли две независимые выборки, объёма n₁ и n₂ соответственно, из одной и той же генеральной совокупности с непрерывным законом распределения. При этом вместо формулы (*) пользуются тем, что вероятность неравенства

как это было установлено Н. В. Смирновым, имеет пределом К (λ), здесь D_n1, _n2 есть наибольшее по абсолютной величине значение разности F_n1 (х) — F_n2 (х).

Другим примером Н. м. могут служить методы проверки гипотезы о том, что теоретическое распределение принадлежит к семейству нормальных распределений. Отметим здесь лишь один из этих методов — так называемый метод выпрямленной диаграммы. Этот метод основывается на следующем замечании. Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами α и σ, то

где Ф^-1 — функция, обратная нормальной:

Т. о., график функции у = Ф^-1[F (x)] будет в этом случае прямой линией, а график функции у = Ф^-1[F_n (x)] — ломаной линией, близкой к этой прямой (см. рис.). Степень близости и служит критерием для проверки гипотезы нормальности распределения F (x).

Лит.: Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969; Большее Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1968.

Ю. В. Прохоров.

Рис. к ст. Непараметрические методы.