Нормальное Распределение

Одно из важнейших распределений вероятностей. Термин "Н. р.", принадлежащий К. Пирсону (К. Pearson) (более старые названия Гаусса закон, Гаусса- Лапласа распределение), применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распределениям конечномерных случайных векторов), а также случай ных элементов и случайных процессов. Общее определение Н. р. сводится к одномерному случаю. Распределение вероятностей случайной величины Xназ. нормальным, если оно имеет плотность вероятности Семейство Н. р. (*) зависит, т. о., от двух параметров и >0. При этом математич. ожидание Xравно а, дисперсия Xравна , а характеристич. функция имеет вид Кривая Н. р.симметрична относительно ординаты, проходящей через точку и имеет в этой точке единственный максимум, равный С уменьшением кривая Н. р. становится все более островершинной. Изменение апри постоянном не меняет форму кривой, а вызывает лишь ее смещение по оси абсцисс. Площадь, заключенная под кривой Н. р., всегда равна единице. При соответствующая функция распределения равна В общем случае функция распределения Н. р. (*) может быть вычислена по формуле Для функции (и нескольких ее производных) составлены обширные таблицы (см., напр., [1] , [2] и ст. Интеграл вероятности). Для Н. р. вероятность неравенства равная убывает весьма быстро с ростом к(см. табл.). Во многих практич. вопросах при рассмотрении Н. р. пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих ,- т. н. правило трех сигма (соответствующая вероятность, как видно из табл., меньше 0,003). Вероятное отклонение для Н. р. равно Н. где — квадратичная форма, обратная , параметры равны математич. ожиданиям соответственно, а постоянная Общее количество параметров, задающих Н. р., равно и быстро растет с ростом п. (оно равно 2 при n=1, 20 при п=5и 65 при n=10). Многомерное Н. р. служит основной моделью многомерного статистического анализа. Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматриваются Н. р. в бесконечномерных пространствах, см. Случайный элемент, а также Винера мера, Винеровский процесс, Гауссовский процесс). Из важных свойств Н. р. необходимо отметить следующие. Сумма Xнезависимых случайных величин Х 1 и Х 2, имеющих Н. р., имеет Н. р.; обратно, если Х=Х 1+Х 2 имеет Н. р. и Х 1 и X2 независимы, то X1 и Х 2 имеют Н. р. (теорема Крамера). Это свойство обладает определенной "устойчивостью": если распределение X"близко" к Н. р., то и распределения X1 и Х 2"близки" к Н. р. С Н. р. связаны нек-рые другие важные распределения (см. Логарифмически нормальное распределение, Нецентральное "хи-квадрат" распределение, Стьюденша распределение, Уишарта распределение, Фишера z-распределение, Хотеллинга Т 2 -распре-селение, чХи-квадрат" распределение). Для приближенного представления распределений, близких к Н. р., широко применяются ряды типа Эджворта рядов и Грама- Шарлъе рядов. О вопросах, связанных с оценкой параметров Н. р. по результатам наблюдений, см. ст. Несмещенная оценка. О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы статистики. См. также Вероятностная бумага. Лит.:[1] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968; [2] Таблицы нормального интеграла вероятностей, нормальной плотности и ее нормированных производных, М., 1960; [3] Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; [4] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [5] Кендалл М. Д ж., Стьюарт А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966; [6] Их же, Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973. Ю. В. Прохоров.