Нормальная форма матриц

Норма́льная форма ма́триц

(жорда́нова)

С каждой квадратной матрицей (См. Матрица) Нормальная форма матриц связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.» связан с именем К. Жордана]. На схеме показана жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка:

Нормальная форма матриц. Рис. 2

(1)

Вдоль главной диагонали расположены специальные квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке λ₁, во второй λ₂ и т.д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведённой схеме имеются три диагональные клетки, из которых первая имеет порядок 4, вторая и третья — порядок 2. В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел λ₁, λ₂,... возможны и равные. Исходная матрица А в указанном примере имеет следующие Элементарные делители: (λ — λ₁)⁴, (λ — λ₂)², (λ — λ₃)². По элементарным делителям матрицы однозначно определяется её жорданова форма.

Если матрица А имеет жорданову форму I, то существует неособенная матрица Т такая, что А = TIT^-1. Замену матрицы А подобной ей матрицей I называют приведением матрицы А к нормальной жордановой форме.

Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

Нормальная форма матриц. Рис. 3

Нормальная форма матриц. Рис. 4

……………………………………….

Нормальная форма матриц. Рис. 5

в матричной записи:

Нормальная форма матриц. Рис. 6

Введём новые неизвестные функции y₁, у₂,... y_n при помощи неособенной матрицы Нормальная форма матриц. Рис. 7 [t_ik — числа (i, k = 1, 2, …, n)]:

Нормальная форма матриц. Рис. 8

Нормальная форма матриц. Рис. 9

…………………………………….

Нормальная форма матриц. Рис. 10

;

в матричной записи:

х = Ту.

Подставляя это выражение для x в (2), получим:

Нормальная форма матриц. Рис. 11

где матрица I связана с матрицей А равенством:

А=TIT^-1.

Обычно матрицу Т подбирают так, чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система уравнений (3) значительно проще системы (2). Так, например, при n = 8, если матрица Нормальная форма матриц. Рис. 12 имеет жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид: