Малые выборки

Ма́лые выборки

Статистические выборки столь малого объёма n, что к ним нельзя применить простые классические формулы, действующие лишь асимптотически при n → ∞. Особенности статистической оценки параметров по М. в. легче всего понять на примере нормального распределения (См. Нормальное распределение) (для которого малыми обычно считают выборки объёма n ≤ 30). Пусть необходимо оценить неизвестное среднее значение a выборки x₁, x₂, ..., x_n из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией σ². Обозначим

,

.

Исходным пунктом при оценке a служит то обстоятельство, что распределение вероятностей величины

не зависит от а и σ.

Вероятность ω неравенства — t_ω < t < t_ω и равносильного ему неравенства

(1)

вычисляется при этом по формуле

ω = (2)

где s(t, n — 1) есть плотность вероятности для так называемого Стьюдента распределения (См. Стьюдента распределение) с n — 1 степенями свободы. Определяя для заданных n и ω (0 < ω < 1) соответствующее t_ω (что можно сделать, например, по таблицам), получают правило (1) нахождения доверительных границ (См. Доверительные границы) для величины а, имеющей Значимости уровень ω.

При больших n формула (2), связывающая ω и t_ω, приближённо может быть заменена формулой

(3)

Эту формулу иногда неправильно применяют для определения t_ω при небольших n, что приводит к грубым ошибкам. Так, для ω = 0,99 по формуле (3) находим t_0,99 = 2,58; истинные значения t_0,99 для малых n приведены в следующей таблице:

Если пользоваться формулой (3) при n = 5, то получится вывод, что неравенство

выполняется с вероятностью 0,99. В действительности в случае пяти наблюдений вероятность этого неравенства равна лишь 0,94, а вероятностью 0,99 обладает в соответствии с приведённой таблицей неравенство

Об оценке по М. в. теоретической дисперсии σ² см. «Хи-квадрат» распределение (См. Хи-квадрат распределение). Разработаны также аналогичные методы оценки по М. в. параметров многомерных распределении (например, коэффициента корреляции).

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, перевод с английского, М., 1948; Колмогоров А. Н., Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу наблюдений, «Известия АН СССР. Серия математическая», 1942, т. 6, № 1—2; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.

Ю. В. Прохоров.