Интеграл

Интегра́л

(от лат. integer — целый)

одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые И., вычисление которых является задачей интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление).

Неопределённый интеграл. Первообразная функции f (x) одного действительного переменного — функция F(x), производная которой при каждом значении х равна f (x). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F(x) функции f (x), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F(x) + С. Это общее выражение первообразных называют неопределённым интегралом:

Интеграл

функции f (x). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f (x) действительного переменного имеет неопределённый И.

Определённый интеграл. Определённый И. функции f (x) с нижним пределом а и верхним пределом b можно определить как разность

Интеграл. Рис. 2

где F(x) есть первообразная функции f (x); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И. Если функция f (x) непрерывна, то приведённое определение в случае a < b равносильно следующему определению, данному О. Коши (1823): рассматривают произвольное разбиение отрезка [a, b] точками

Интеграл. Рис. 3

в каждом отрезке [xi—1, xi] (i = 1, 2,..., n) берут произвольную точку ξi (xi—1 ≤ ξixi) и образуют сумму

Интеграл. Рис. 4

Сумма Sn зависит от выбора точек xi и ξi. Однако в случае непрерывной функции f (x) суммы Sn, получающиеся при различном выборе точек xi и ξi, стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностей xi — xi—1 стремится к нулю при n → ∞. Этот предел и является определённым интегралом

Интеграл. Рис. 5

По определению,

Интеграл. Рис. 6

Определённый И., как указано выше, выражается через любую первообразную F(x). Обратно, первообразная F(x) может быть записана в виде

Интеграл. Рис. 7

где а — произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный И. записывается в виде

Интеграл. Рис. 8

О возникновении понятия И., а также о свойствах неопределенных и определённых И. см. Интегральное исчисление.

Обобщение понятия интеграла

Интеграл Римана. О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом

Интеграл. Рис. 9

предел сумм Sn при max(xi xi—1) → 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определён, предложил Б. Риман (1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (1902), пользуясь введённым им понятием меры множества (см. Меры теория). Для интегрируемости в смысле Римана функции f (x) на [a, b] является необходимой и достаточной совокупность двух условий: f (x) ограничена на [а, b], множество помещающихся на [a, b] точек разрыва функции f (x) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [а, b] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману.

Неопределённый И. и первообразную можно теперь определять формулами (5) и (4). Следует только заметить, что при этом первообразная F(x) не обязана иметь подинтегральную функцию f (x) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности f (x), т. е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будет

Интеграл. Рис. 10

Г. Дарбу (1879) дал определение интеграла Римана, которое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (3) Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу)

Интеграл. Рис. 11

Интеграл. Рис. 12

где Mk — верхняя грань функции f (x) на отрезке [xk—1,xk], а mk нижняя грань f (x) на том же отрезке. Если нижняя грань сумм Интеграл. Рис. 13 , а — верхняя грань сумм Интеграл. Рис. 14 , то для существования интеграла Римана необходимо и достаточно условие Интеграл. Рис. 15 Общее значение Интеграл. Рис. 16 величин и и является интегралом Римана (6). Сами величины и называются верхним и, соответственно, нижним интегралами Дарбу.

Интеграл Лебега. Введённое Лебегом понятие меры множества позволило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить И. (6), Лебег делит точками

... < y-2 < y-1 < y0 < y-1 < ... < yi <...

область возможных значений переменного у = f (x) и обозначает Mi множество тех точек х из отрезка [a, b], для которых

yi—1f (x) < yi.

Сумма S определяется равенством S = Σi ηi μ(Mi),

где ηi берётся из отрезка yi—1 ≤ ηi < yi, а μ(Mi) обозначает меру множества Mi. Функция f (x) называется интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [a, b], если ряды, определяющие суммы S, абсолютно сходятся при max(yi yi—1) → 0. Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (6). Можно определить первообразную в смысле Лебега как функцию F(x), удовлетворяющую равенству (4), где И. в правой части понимается по Лебегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (7) будет при этом выполняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю.

Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции f (x) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций (См. Измеримые функции) в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в математическом анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (6) с общностью, исчерпывающей потребности математического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу.

Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. вида

Интеграл. Рис. 17

После этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов (См. Несобственные интегралы).

Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера — Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряд

Интеграл. Рис. 18

для которого

Интеграл. Рис. 19

представляет функцию f (x), порождающую коэффициенты an и bn по формулам

Интеграл. Рис. 20

Интеграл. Рис. 21

где И. понимаются в смысле Лебега.

Интеграл Стилтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтьесом (1894). Пусть f (x) — непрерывная функция действительного переменного х, определённая на отрезке [a, b], и U(x) — определённая на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (2) отрезка [a, b] и составляют сумму

f1) [U(x1) — U(x0)] + f2) [U(x2) — U(x1)] +...+ fn) [U(xn) — U(xn—1)], (8)

где ξ1, ξ2, ..., ξn — произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [x0, x1], [x1, x2], ..., [xn—1, xn]. Пусть δ — наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (2). Если взять любую последовательность разбиений, для которой δ стремится к нулю, то сумма (8) будет иметь определённый, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки ξ1, ξ2, ..., ξn на соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции f (x) относительно функции U(x) и обозначают символом

Интеграл. Рис. 22

Интеграл (9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U(x), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U1(x) и U2(x):

U(x) = U1(x) — U2(x),

т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции).

Если интегрирующая функция U(х) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U'(x), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле

Интеграл. Рис. 23

В частности, когда U(x) = х + С, интеграл Стилтьеса (9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (6).

Дальнейшие обобщения. Концепции И., созданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамическим систем, привели к ещё более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. Пусть Х — пространство, в котором выделена определённая система В его подмножеств, называемых «измеримыми», причём эта система обладает свойствами замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счётном числе. Пусть μ — конечная мера, заданная на В. Для В-измеримой функции у = f (x), хХ, принимающей конечное или счётное число значений y1, y2, ..., yn, ..., соответственно на попарно непересекающихся множествах A1, ..., Аn, ..., сумма которых есть X, интеграл функции f (x) по мере μ, обозначаемый

Интеграл. Рис. 24 ,

определяется как сумма ряда

Интеграл. Рис. 25

в предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других f интегрируемость и И. определяются путём некоторого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций.

Пусть А — измеримое множество и φА(х) = 1 для х, принадлежащих А, и φА(х) = 0 для х, не принадлежащих А. Тогда интеграл от f (x) по множеству А определяют, полагая

Интеграл. Рис. 26

При фиксированных μ и А И. в зависимости от f может рассматриваться как Линейный функционал; при фиксированном f И., как функция множества А, есть счётно аддитивная функция.

Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлечённость, это общее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки задачи проверки статистических гипотез. И. по отношению к так называемой мере Винера и различным её аналогам используют в статистической физике (здесь в качестве Х фигурирует пространство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся до сих пор обобщения понятия И. были такими, что f и |f | оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.

Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неограниченных функций. Ещё Коши в случае функции f (x), неограниченной в точке х = с, определил интеграл

Интеграл. Рис. 27 ,

когда a < c < b, как предел выражения

Интеграл. Рис. 28 ,

при ε1 → 0 и ε2 → 0. Аналогично И. с бесконечными пределами

Интеграл. Рис. 29

определяется как предел И.

Интеграл. Рис. 30 ,

при а → — ∞ и b → + ∞. Если при этом не требуется интегрируемости |f (x)|, т. е. f (x) интегрируема «не абсолютно», то это определение Коши не поглощается лебеговским.

Ещё более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было предложено А. Данжуа (1912) и А. Я. Хинчиным (1915).

Лит.: Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.—Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега — Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни Х., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, В. — Hdlb. — N. Y., 1969.

Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. интеграл — Интеграла, м. [от латин. integer – целый] (мат.). Конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее – к дифференциалу. Большой словарь иностранных слов
  2. интеграл — ИНТЕГРАЛ [тэ], а, м. В математике: величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию. | прил. интегральный, ая, ое. Интегральное исчисление. Толковый словарь Ожегова
  3. Интеграл — Одно из центральных понятий математич. анализа и всей математики, возникновение к-рого связано с двумя задачами: о восстановлении функции по ее производной (напр. Математическая энциклопедия
  4. ИНТЕГРАЛ — ИНТЕГРАЛ (обозначение т ). Математический символ, используемый в ИСЧИСЛЕНИИ, представляющий операцию суммирования. Интеграл функции f(x), записанный как т f(x)dx, может представлять площадь фигуры, ограниченной кривой y=f(x) и осью абсцисс. Научно-технический словарь
  5. интеграл — ИНТЕГРАЛ [тэ], -а; м. [от лат. integer — целый] Матем. Величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию. ◁ Интегральный, -ая, -ое. Толковый словарь Кузнецова
  6. интеграл — -а, м. мат. Величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию. [От лат. integer — целый] Малый академический словарь
  7. интеграл — Интеграл, интегралы, интеграла, интегралов, интегралу, интегралам, интеграл, интегралы, интегралом, интегралами, интеграле, интегралах Грамматический словарь Зализняка
  8. интеграл — сущ., кол-во синонимов: 2 первообразная 1 термин 18 Словарь синонимов русского языка
  9. интеграл — орф. интеграл, -а Орфографический словарь Лопатина
  10. интеграл — Интегр/а́л/. Морфемно-орфографический словарь
  11. интеграл — интеграл м. Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей (в математике). Толковый словарь Ефремовой
  12. интеграл — ИНТЕГРАЛ а, м. intégrale f. <�лат. integer целый. Математическое понятие о целой величине как сумме своих бесконечно малых частей. Нахождение интеграла. БАС-1. Найти интеграл уравнения. 1766. Котельников Геодет 175. // Сл. 18. Словарь галлицизмов русского языка
  13. интеграл — ИНТЕГРИРОВАТЬ — ДИФФЕРЕНЦИРОВАТЬ Интегрирование — дифференцирование интеграл — дифференциал интегральный — дифференциальный (см.) Почему лес, такой разобщенный, многообразный, кажется единым существом? ... Словарь антонимов русского языка
  14. интеграл — ИНТЕГР’АЛ, интеграла, ·муж. (от ·лат. integer — целый) (мат.). Конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее — к диференциалу. Толковый словарь Ушакова
  15. интеграл — ИНТЕГРАЛ м. математ. лат. конечная, измеримая величина, в отношении к бесконечно малой части ее, к дифференциалу. Интегральное вычисление, искусство отыскивать интеграл по дифференциалу. Интегрировать вычислять, находить интеграл; интеграция ж. действие это. Толковый словарь Даля
  16. интеграл — Латинское – integralis, integer (целый, полный). В русском языке слово «интеграл» как математический термин появилось в 50–70-х гг. XVIII в. из французского языка. Впервые его ввел в обиход швейцарский математик... Этимологический словарь Семёнова
  17. ИНТЕГРАЛ — ИНТЕГРАЛ (от лат. integer — целый) — см. Интегральное исчисление. Большой энциклопедический словарь
  18. интеграл — Заимств. во второй половине XVIII в. из франц. яз., где оно является неологизмом швейцарского математика Я. Бернулли на базе лат. integralis, суф. производного от integer «целый, полный». Этимологический словарь Шанского