Интеграл

Одно из центральных понятий математич. анализа и всей математики, возникновение к-рого связано с двумя задачами: о восстановлении функции по ее производной (напр., с задачей об отыскании закона движения материальной точки вдоль прямой по известной скорости этой точки); о вычислении площади, заключенной между графиком функции f(x)на отрезке и осью абсцисс (к этой же задаче приводит вычисление работы, произведенной силой за промежуток времени и другие вопросы). Указанные две задачи приводят к двум видам И.: неопределенному и определенному. Изучение свойств и вычисление этих связанных между собой видов И. составляет задачу интегрального исчисления. В ходе развития математики и под влиянием потребностей естествознания и техники понятия неопределенного и определенного И. подвергались ряду обобщений и изменений. Неопределенный интеграл. Первообразной функции f (х)одного переменного хна интервале а<х<b наз. любая функция F(x), производная к-рой для любого хиз этого интервала равна f(x). Очевидно, что если F(x)является первообразной функции f(x)нa интервале а<x<b, то и функция F1 (х)= F(x)+C, где С- любая постоянная, также является первообразной f(x)на этом интервале. Верно и обратное: любые две первообразные одной и той же функции f(x)на интервале a<x<b могут отличаться лишь на постоянную. Следовательно, если F(x)- одна из первообразных f(x)на интервале a<x<b, то любая первообразная f(x)на этом интервале имеет вид F(x)+C, где С- постоянная. Совокупность всех первообразных функции f (х)на интервале a<x<b наз. неопределенным интегралом функции f(x)(на этом интервале) и обозначается символом Согласно основной теореме интегрального исчисления, для каждой непрерывной на интервале a<x<b функции f(х)существует на этом интервале первообразная и, следовательно, неопределенный И. Определенный интеграл. Понятие определенного И. вводится либо как предел интегральных сумм (см. Ноши интеграл, Римана интеграл, Лебега интеграл, Колмогорова интеграл, Стилтьеса интеграл), либо в случае, когда заданная функция f(x)определена на нек-ром отрезке [ а, b]и имеет на нем первообразную F, как разность ее значений на концах рассматриваемого отрезка F(b) — F(a). Определенный И. от функции f(x)на отрезке [ а, b] обозначают Определение И. как предела интегральных сумм в случае непрерывных функций было сформулировано О. Коши (А. Саuchy) в 1823. Случай произвольных функций был изучен Б. Риманом (В. Riemann, 1853). Существенное продвижение в теории определенного И. принадлежит Г. Дарбу (G. Darboux, 1879), к-рый ввел в рассмотрение наряду с интегральной суммой Римана верхнюю и нижнюю суммы (см. Дарбу сумма). Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Риману разрывных функций в законченной форме установил (1902) А. Лебег (Н. Lebesgue). Между определенным И. от непрерывной на отрезке [а, b]функции f(x)и неопределенным И. (или первообразной) этой функции существует следующая связь:1) если F(x)- любая первообразная функции f(x), то справедлива формула Ньютона — Лейбница2) для любого хиз отрезка [ а, b] неопределенный И. непрерывной функции f(х)записывается в виде где С- произвольная постоянная. В частности, определенный И. с переменным верхним пределом представляет собой первообразную функцию f(х). Для введения определенного И. от функции f(x)по отрезку [ а, b]в смысле Лебега разбивают множество значений уна частичные отрезки точками ...<y_2<у -1<y0<у1<у2<... и обозначают через М i множество всех значений хиз отрезка [ а, b], для к-рых yi-1f(x)<yi, а через m( М i) — меру множества М i в смысле Лебега. ьную сумму Лебега функции f(x)на отрезке [ а, b] определяют равенством где hi — любое число из отрезка Функцию f(x)наз. интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [а, b], если существует предел ее интегральных сумм (2) при стремлении к нулю максимальной из разностей у i-yi-1, т. е. если существует такое число I, что для любого e>0 найдется d>0 такое, что при единственном условии ( у i -у i-1)<d справедливо неравенство |s-I| <e. При этом указанный предел I наз. определенным интегралом Лебега от функции f(x)по отре.

Источник: Математическая энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. интеграл — Интеграла, м. [от латин. integer – целый] (мат.). Конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее – к дифференциалу. Большой словарь иностранных слов
  2. интеграл — ИНТЕГРАЛ [тэ], а, м. В математике: величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию. | прил. интегральный, ая, ое. Интегральное исчисление. Толковый словарь Ожегова
  3. ИНТЕГРАЛ — ИНТЕГРАЛ (обозначение т ). Математический символ, используемый в ИСЧИСЛЕНИИ, представляющий операцию суммирования. Интеграл функции f(x), записанный как т f(x)dx, может представлять площадь фигуры, ограниченной кривой y=f(x) и осью абсцисс. Научно-технический словарь
  4. интеграл — ИНТЕГРАЛ [тэ], -а; м. [от лат. integer — целый] Матем. Величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию. ◁ Интегральный, -ая, -ое. Толковый словарь Кузнецова
  5. интеграл — -а, м. мат. Величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию. [От лат. integer — целый] Малый академический словарь
  6. интеграл — орф. интеграл, -а Орфографический словарь Лопатина
  7. интеграл — Интегр/а́л/. Морфемно-орфографический словарь
  8. интеграл — интеграл м. Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей (в математике). Толковый словарь Ефремовой
  9. интеграл — ИНТЕГРАЛ а, м. intégrale f. <�лат. integer целый. Математическое понятие о целой величине как сумме своих бесконечно малых частей. Нахождение интеграла. БАС-1. Найти интеграл уравнения. 1766. Котельников Геодет 175. // Сл. 18. Словарь галлицизмов русского языка
  10. интеграл — ИНТЕГРИРОВАТЬ — ДИФФЕРЕНЦИРОВАТЬ Интегрирование — дифференцирование интеграл — дифференциал интегральный — дифференциальный (см.) Почему лес, такой разобщенный, многообразный, кажется единым существом? ... Словарь антонимов русского языка
  11. интеграл — ИНТЕГР’АЛ, интеграла, ·муж. (от ·лат. integer — целый) (мат.). Конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее — к диференциалу. Толковый словарь Ушакова
  12. интеграл — ИНТЕГРАЛ м. математ. лат. конечная, измеримая величина, в отношении к бесконечно малой части ее, к дифференциалу. Интегральное вычисление, искусство отыскивать интеграл по дифференциалу. Интегрировать вычислять, находить интеграл; интеграция ж. действие это. Толковый словарь Даля
  13. Интеграл — (от лат. integer — целый) одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки)... Большая советская энциклопедия
  14. интеграл — Латинское – integralis, integer (целый, полный). В русском языке слово «интеграл» как математический термин появилось в 50–70-х гг. XVIII в. из французского языка. Впервые его ввел в обиход швейцарский математик... Этимологический словарь Семёнова
  15. ИНТЕГРАЛ — ИНТЕГРАЛ (от лат. integer — целый) — см. Интегральное исчисление. Большой энциклопедический словарь
  16. интеграл — Заимств. во второй половине XVIII в. из франц. яз., где оно является неологизмом швейцарского математика Я. Бернулли на базе лат. integralis, суф. производного от integer «целый, полный». Этимологический словарь Шанского