Изменение функции

Измене́ние функции

Вариация функции, одна из важнейших характеристик функции действительного переменного. Пусть функция f (x) задана на некотором отрезке [a, b]; её изменением, или полным изменением, на этом отрезке называется верхняя грань сумм

распространённая на всевозможные разбиения

отрезка [a, b] на конечное число частей. Геометрически изменение непрерывной функции f (x) представляет собой длину проекции кривой у = f (x) на ось ординат, считая кратность покрытия (теорема Банаха). И. ф. f (x) на отрезке [а, b] принято обозначать символом

.

Если функция f (x) имеет непрерывную производную, то

Свойства И. ф.: 1) если а < Ь < с, то

Существуют непрерывные функции, изменение которых бесконечно; например,

Если И. ф. конечно, то такая функция называется функцией с ограниченным изменением (функцией с конечным изменением, или функцией ограниченной вариации). Функции с ограниченным изменением были определены и впервые изучались К. Жорданом (1881). Многие важные функции принадлежат к числу функций с ограниченным изменением, например монотонные функции (См. Монотонная функция), заданные на отрезке, функции с конечным числом максимумов и минимумов, функции, удовлетворяющие Липшица условию (См. Липшица условие). Всякая функция с ограниченным изменением на отрезке [а, b] имеет не более чем счётное множество разрыва точек (См. Разрыва точка), и притом первого рода, интегрируема по Риману и есть разность двух неубывающих функций (К. Жордан). Предел сходящейся последовательности функций с равностепенно ограниченными изменениями есть функция с ограниченным изменением. Функции с ограниченным изменением имеют почти всюду конечную производную, которая интегрируема по Лебегу (теорема А. Лебега).

Функции с ограниченным изменением имеют приложения в теории интеграла Стилтьеса, в теории тригонометрических рядов, в геометрии.

Лит.: Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Введение в теорию функций действительного переменного, 3 изд., М. — Л., 1938; Kaмкe Э., Интеграл Лебега-Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М. — Л., 1951; Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М. — Л., 1934; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.

С. Б. Стечкин.