ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО

Геометрический образ, представленный множеством всевозможных состояний физ. системы, наделённых естеств. понятием близости.

Состояние системы в нек-рый момент времени изображается в виде точки в этом пр-ве. Так, напр., состояние груза, вертикально подвешенного на пружине, определяется растяжением пружины s и скоростью груза v. Множество его состояний, представленных в виде точек с координатами s и v, образуют плоскость, к-рая и явл. двухмерным Ф. п. рассматриваемой системы. При этом близким состояниям груза на пружине отвечают близкие точки фазовой плоскости, и наоборот. Ф. п. физ. маятника, состояния к-рого определяются углом j и угл. скоростью j, явл. двухмерным (поверхностью цилиндра). Более сложные физ. системы могут иметь многомерные и бесконечномерные Ф. п. Бесконечномерное Ф. п. имеют распределённые физ. системы, такие, как струна, мембрана, упругая среда, эл.-магн. поле и т. д.

При изменении состояния системы точка, изображающая это состояние в Ф. п., описывает нек-рую кривую, наз. фазовой траекторией. Через каждую точку Ф. п. проходит, вообще говоря, одна, и только одна, фазовая траектория, поэтому Ф. п. разбивается на непересекающиеся фазовые траектории, соответствующие всевозможным состояниям системы. Этот геом. образ — Ф. п., заполненное непересекающимися фазовыми траекториями, наз. фазовым портретом системы. Его можно трактовать как изображение течения нек-рой воображаемой фазовой жидкости, отдельные ч-цы к-рой движутся по фазовым траекториям.

Представлением о Ф. п. широко пользуются в статистической физике и колебаний и волн теории. Для статистич. физики важнейшим является св-во сохранения фазового объёма при течении фазовой жидкости, её несжимаемость, имеющая место для консервативных систем; для теории колебаний — фазовая трактовка отд. движений, их св-в и зависимости от параметров. Так, состояние равновесия изображается фазовой траекторией, состоящей из одной точки. Периодич. движение изображается замкнутой фазовой траекторией, обегаемой фазовой точкой за время, равное периоду изменения состояния физ. системы. Св-ву устойчивости состояния равновесия или периодич. движения физ. системы соответствует определённая картина поведения фазовых траекторий, близких к изображающим эти движения фазовым траекториям: близкие фазовые траектории при t®? от них не удаляются.

Матем. изучение фазовых портретов, как геом. изображения всех решений дифференц. ур-ний, описывающих состояние физ. системы, было начато в 19 в. А. Пуанкаре. Многие физ. колебательные явления — автоколебания, мягкий и жёсткий режимы возбуждения колебаний, захватывание, затягивание и синхронизация, удвоение периода и модуляция автоколебаний — получили адекватное матем. описание на фазовых портретах. Соответствующая матем. дисциплина наз. качественной теорией дифференц. ур-ний (или более общо — теорией динамич. систем).