НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ – широкая область логических исследований, выходящая за пределы или, наоборот, сужающая область исследований классической логики высказываний [ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ]и логики предикатов [ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ].

Предпосылки для неклассической логики были высказаны еще до того, как стали проводиться систематические исследования по логике высказываний (Э.Пост,1921). В 1908 выходит статья Л.Брауэра [БРАУЭР]с вызывающим названием: «О недостоверности логических принципов», где дается критика классических законов исключенного третьего  (см. Исключенного третьего закон [ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО ЗАКОН]) и снятия двойного отрицания . Это был ответ Брауэра на обнаружение парадоксов в теории множеств. В 1910 одновременно и независимо друг от друга русский логик Н.А.Васильев [ВАСИЛЬЕВ]и польский логик Я.Лукасевич [ЛУКАСЕВИЧ]подвергли критике непротиворечия закон [ЗАКОН НЕПРОТИВОРЕЧИЯ] , став в этом смысле предшественниками паранепротиворечивой логики [ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ЛОГИКА]. В 1929–30 идеи Брауэра были реализованы В.Гливенкои А.Гейтингом, которые аксиоматизировали интуиционистскую логику [ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА], а еще ранее А.Н.Колмогоров [КОЛМОГОРОВ](1925) в продолжение начатой Брауэром критики классической логики обратил внимание на аксиому  как не имеющую интуитивного основания. В результате появилась аксиоматизация импликативно-негативного фрагмента минимальной логики. В 1920 в законченном виде появляется трехзначная логика Лукасевича (см. Многозначные логики [МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ]), которая возникла в результате опровержения философской концепции логического фатализма [ЛОГИЧЕСКИЙ ФАТАЛИЗМ]посредством отбрасывания принципа двузначности (бивалентности). В этой логике не имеют места ни закон исключенного третьего, ни закон непротиворечия, ни закон сокращения .

В 1912 американский логик К.И.Льюисстроит новую теорию логического следования взамен теории материальной (классической) импликации. Исходным мотивом Льюиса было избавиться от так называемых парадоксов материальной импликации:  и др. В результате вводится новая импликация «→», названная им «строгой». Поскольку Льюис считал, что логическое следование тесно связано с понятиями необходимости и возможности, то вводятся также модальные операторы с аналогичным названием. Уже в 1918 Льюисом была сформулирована первая модальная система, названная им впоследствии S3. Однако оказалось, что строгая импликация Льюиса не менее «парадоксальна», чем материальная, поскольку имеют место следующие законы: , т.е. истина следует из чего угодно и из лжи следует все, что угодно. Следствием отказа от этих законов явилась логика следования Ε (Ackermann, 1956), а еще ранее в результате обнаружения ослабленной формы дедукции теоремы [ДЕДУКЦИИ ТЕОРЕМА]появилась релевантная импликация (Church, 1951). Формулировка критерия релевантности (Belnap, 1960, Донченко, 1963) определила бесконечный класс законов классической логики, неприемлемых для релевантных логик. Наконец, с появлением и развитием квантовой физики подвергся критике закон тождества , поскольку, согласно Э.Шрёдингеру, этот закон в общем случае не имеет места для микрообъектов. Такие логики получили название «логики Шрёдингера».

Т.о., указанные выше неклассические логики появились в результате критики тех или иных законов классической (аристотелевской) логики, и в итоге напрашивался вывод, что лотка не основывается ни на каких принципах или законах. Совершенно иной подход к построению неклассических логик продемонстрировал А.Н.Прайор, который в результате логического анализа и реконструкции «главенствующего аргумента» (kyrieyon) Диодора Крона [ДИОДОР КРОН]впервые ввел в логику временные операторы и построил первые системы временной логики [ВРЕМЕННАЯ ЛОГИКА], причем в качестве основы берется вся классическая пропозициональная логика С₂ и уже к ней добавляются аксиомы, определяющие вновь введенные операторы. Подобным образом строятся деонтические логики, эпистемические, императивные и многие другие, поскольку возможности изобретения все новых операторов, добавляемых к С₂, неограниченны.

Т.о., имеем два основных подхода к конструированию неклассических логик 1) ограничение (сужение) С₂ посредством отбрасывают каких-либо законов классической логики; 2) расширение С₂ посредством добавления новых логических связок. В редакционной статье первого номера бразильского журнала «The Journal of Non-Classical Logic» (1982) именно эти два подхода и выделены. Точно такое же разделение на два основных класса принято и в «Handbook of Philosophical Logic», где во 2-й том вошли неклассические логики, расширяющие С₂, а в третий том – неклассические логики, сужающие С₂ (здесь они названы «альтернативными» к С₂). Но такое деление не является исчерпывающим, поскольку существуют неклассические логики, не принадлежащие ни к одному из этих двух классов, напр. комбинаторная логика [КОМБИНАТОРНАЯ ЛОГИКА], инфинитарные логики, системы Лесневского и т.д. Однако возникают более существенные трудности при допущении дихотомии [ДИХОТОМИЯ], указанной пунктами 1) и 2). Оказалось, что модальные логические системы строгой импликации Льюиса и Лэнгфорда (1932) можно строить как расширение С₂, добавив к последней аксиомы, определяющие модальные операторы (Гёдель, 1933). То же самое можно сделать с абсолютным большинством многозначных логик. Напр., конечнозначные логики Лукасевича, Бочвара, Поста и т.д. есть расширение С₂ (Аншаков и Рычков, 1984). Более того, существует погружающая операция, которая переводит (вкладывает) С₂ в интуиционистскую логику H (Гливенко, 1929). Это означает, что последняя богаче С₂, хотя на первый взгляд является подсистемой С₂. Но Гёдель показал (1933), что H есть расширение С₂, если в качестве логических связок последней взять конъюнкцию и отрицание. Более того, существуют подсистемы С₂, слабее Н, но в которые переводится С₂. На самом деле, перевод одной логики в другую довольно-таки распространенное явление и в последние годы стала разрабатываться теория такого феномена: Wbjcicki (1988), Epstein (1990). В свою очередь заметим, что целый ряд неклассических логик содержит фрагмент (или фрагменты), изоморфный С,. Таково, напр., большинство конечнозначных логик. Тогда можно предположить, что С₂ переводится в некоторую логику L, если L содержит фрагмент, изоморфный С₂. Отсюда следует возможность аксиоматизации L как расширения С₂.

Вот некоторые достаточно известные неклассические логики: интуиционистская и конструктивная, суперинтуиционистские (промежуточные), подсистемы классической логики (ВСК, ВСІ и т.д.), многозначная, модальная, доказуемостью логики, временная, модально-временные логики, релевантная и следования, контрфактуалы и кондиционалы, паранепротиворечивая логика, логика комбинаторная и лямбда исчисления, квантовая, эпистемическая, деонтическая, императивная, немотонная логика, свободные логики, логика вопросов (эротетическая логика), интенсиональная, индуктивная логика, вероятностная логика, нечеткие (нечеткозначные логики), логика подтверждений и порождения гипотез, логика решений, динамическая логика, логика программ, онтология Лесневского, силлогистика и др. (см. также Философская логика [ФИЛОСОФСКАЯ ЛОГИКА]). На современном этапе развития логики многие из указанных направлений представляют разделы логики символической [ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ]и давно потеряли какие-либо следы своего философского происхождения.

Бесконечное разнообразие неклассических логик (существуют континуумы логик определенного класса, напр. континуум суперинтуиционистских логик), а также критика и возможная элиминация любого закона логики и результаты, связанные с переводом одних логик в другие,– все это поставило сложнейшую проблему выработки, по возможности, единого подхода к такому явлению, как «мир логики». Укажем основные подходы (работы), четко обозначенные в последнее время:

1) алгебраический – логика есть часть универсальной алгебры (W.J.Block & D.Pigozzi, 1989);

2) семантический подход (R.L.Epstein, 1990);

3) теоретико-доказательный (D.M.Gabbay, 1996);

4) классификация логик посредством конечных булевых решеток, элементами которых являются различные логические исчисления (А С.Карпенко, 1997).

Все эти подходы, конечно, имеют те или иные ограничения, поэтому сейчас обсуждается вопрос о построении универсальной логики (J.-Y.Beziau и др.). Итог развития неклассических логик тот же самый, что для символической логики и философской логики, а именно – постановка к кон. 20 в. вопроса о том, что такое логика.

Литература:

1. Аншаков О.М., Рычков С.В. Об одном способе формализации и классификации многозначных логик. – В кн.: Семиотика и информатика, вып. 23;

2. Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М., 1989;

3. Гливенко В. О некоторых аспектах логики Брауэра. – В кн.: Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. М., 1998;

4. Исследования по неклассическим логикам. М., 1989;

5. Карпенко А.С. Классификация пропозициональных логик. – В кн.: Логические исследования, вып. 4. М., 1997;

6. Он же. Библиотечно-библиографическая классификация литературы по логике. – В кн.: Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. М., 1997;

7. Колмогоров А.Н. О принципе tertium non datur. – В кн.: Он же. Избранные труды. Математика и механика. М, 1985;

8. Blok W.J., Pigozzi D. Algebraizable logics. – Memoirs of the American Mathematical Society. N.Y., 1989, v. 396;

9. Brouwer L.E.J. The unreliability of the logical principles. – Brouwer L.E.J. The collecled works. Dordrecht, 1975;

10. da Costa N.С.Α., Krause D. Schrodinger logics. – «Studia logica», 1994, v. 53;

11. Epstein R.L. The semantic foundations of logic, v. I: Prepositional Logic. Dordrecht, 1990;

12. Gabbay D.M. Labelled deductive systems, v. 1. Oxf., 1996;

13. Haack S. Deviant logic: Some philosophical issues. L., 1974 (здесь предпринята первая попытка определения статуса неклассической логики);

14. Haack S. Deviant logic, fuzzy logic: Beyond the formalism. Chi., 1996;

15. Handbook of philosophical logic, v. 11;

16. Extensions of classical logic. Dordrecht, 1981;

17. Handbook of philosophical logic, v. III: Alternatives in classical logic. Dordrecht, 1986;

18. Lewis C.I. Implication and the algebra of logic? – «Mind», 1912, v. 21;

19. Lukasiewicz J. On the principle of contradiction in Aristotle.– «Review of Metaphysics», 1971, v. 24;

20. Lukasiewicz J. О logice trojwartosciowey. – «Ruch Filozoliczny», 1920, t. 5 (Англ. пер.: On three-valued logic. – Lukasiewicz J. Selected works. Warsz., 1970;

21. Non-cassical logics and their applications to fuzzy subsets: A handbook of the mathematical foundation of fuzzy set theory. Dordrecht, 1995;

22.  Rasiowa H. An algebraic approach to non-classical logics. – Warsz., 1974;

23. Thistlewwaite P.B. McRobbie Μ. Α., Meyer R.K. Automated theorem proving for non-classical logics. – Research Notes in Theoretical Computer Science. N.Y., 1987;

24. Wojcicki R. Theory of logical calculi: Basic theory of consequence operations. Dordrecht, 1988;

25. Ω-Bibliography of mathematical logic, v. II: Non-classical logics. В., 1987.

A.С.Карпенко