КОЛМОГОРОВ

КОЛМОГОРОВ Андрей Николаевич (12/25 апреля 1903, Тамбов – 20 октября 1997, Москва) – российский ученый, оказавший влияние на развитие ряда разделов математики (в т.ч. математической логики), ее философии, методологии, истории и преподавания, а также внесший значительный вклад в кибернетику, информатику, логику, лингвистику, историческую науку, гидродинамику, небесную механику, метеорологию, теорию стрельбы и теорию стиха. Действительный член Академии наук СССР (1939) и многих др. иностранных академий.

Колмогоров окончил физико-математический факультет Московского университета (1925) и аспирантуру там же (1929); во время обучения был учеником H.H.Лузина. Первые научные работы – одну по истории Новгорода (опубликована в 1994) и другую математическую (опубликована в 1987) – выполнил в январе 1921. Первая научная публикация – в 1923. С 1931 состоял профессором Московского университета и внес выдающийся вклад в организацию математического образования. В МГУ Колмогоров создал и первым возглавил кафедру теории вероятностей (1935), лабораторию статистических методов (1963), кафедру математической статистики (1976); с 1980 и до конца жизни заведовал кафедрой математической логики. В Математическом институте им. Стеклова АН СССР Колмогоров с 1939 по 1960 возглавлял отдел теории вероятностей, а с 1983 – отдел математической статистики и теории информации.

Центральным для методологической позиции Колмогорова был вопрос о соотношении математических представлений с реальной действительностью. Подход Колмогорова к решению этого вопроса нашел отражение в его статье «Математика», опубликованной во всех изданиях БСЭ. Эта статья содержит оригинальную периодизацию истории математики, анализ предмета и метода математики и ее места в системе наук, а также специальный раздел, посвященный вопросам обоснования математики. В трудах Колмогорова вскрыты как внешние, так и внутриматематические мотивы возникновения новых математических понятий и теорий. Колмогоров отстаивал ту точку зрения, что восхождение к более высоким ступенях абстракции [АБСТРАКЦИЯ]имеет практический смысл, и потому настаивал на более широком внедрении метода абстракции в преподавание. В 1933 Колмогоров предложил общепринятую ныне систему аксиоматического обоснования теории вероятностей.

Для Колмогорова характерно повышенное внимание к различению в объектах и процессах конструктивного и неконструктивного. Конструктивными объектами [КОНСТРУКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ]с необходимостью являются объекты, участвующие в конструктивных процессах, а также выражения какого-либо языка. При этом выражение языка служит, как правило, именем неконструктивного объекта. Последнее наблюдение естественно приводит к понятию нумерации, служащему математическим выражением общей идеи соответствия между именами (в математической терминологии – «номерами») и их денотатами в рамках какой-либо системы имен (в математической терминологии – «нумерации»); основы теории нумераций были сформулированы Колмогоровым в 1954. Интерес к конструктивным процессам привел его к алгоритмической проблематике. В частности, в 60-х гг. он предложил новые, алгоритмические подходы к обоснованию теории вероятностей, что позволило в конечном счете дать строгое определение понятию случайности для индивидуального объекта (что недоступно традиционной теории вероятностей). В кибернетике Колмогоров проанализировал роль дискретного (в противопоставлении непрерывному) и отстаивал принципиальную возможность возникновения у машин мышления, эмоций, целенаправленной деятельности и способности конструировать еще более сложные машины. В информатике в 50-х гг. он предложил общее определение понятия алгоритма [АЛГОРИТМ], а в 60-х гг., опираясь на алгоритмические представления, создал теорию сложности конструктивных объектов. Эта теория в свою очередь была применена им для построения нового обоснования теории информации.

Выдающуюся роль в логике играют две статьи Колмогорова: «О принципе tertium non datur» (Математический сборник, 1925, т. 32, № 4, с. 668–677) и «Zur Deutung der intuitionis-tischen Logik» (Mathematische Zeitschrift, 1932, Bd. 35, S. 58– 65); обе перепечатаны в его кн. «Избранные труды. Математика и механика» (вторая – в рус. пер.: «К толкованию интуиционистской логики»). Обе объединены общей идеей – навести мост между интуиционистской логикой [ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА]и традиционной, или «классической», логикой, причем сделать это средствами, свободными как от идеологии интуиционизма [ИНТУИЦИОНИЗМ], так и от крайностей теоретико-множественного догматизма. В статье 1925 предлагается такая интерпретация «классической» логики, которая приемлема с точки зрения интуиционизма; напротив, в статье 1932 предлагается такая интерпретация интуиционистской логики, которая приемлема с классических позиций.

В статье «О принципе...» ученый принимает предпринятую главой интуиционизма Брауэром [БРАУЭР]критику традиционной логики, при этом обнаруживая в последней еще один уязвимый, но обойденный критикой Брауэра логический принцип, а именно принцип, выражаемый аксиомой А → (¬А → В). Как указывает Колмогоров, эта аксиома «не имеет и не может иметь интуитивных оснований как утверждающая нечто о последствиях невозможного». Он выдвигает два вопроса: 1) почему незаконное, с интуиционистской точки зрения, применение исключенного третьего принципа часто остается незамеченным? 2) почему оно не привело до сих пор к противоречию? На оба вопроса в статье даются ответы. На 1-й вопрос – потому что применения закона исключенного третьего оправданы, коль скоро возникающее в результате таких применений суждение носит финитный характер; действительно, в этом случае оно может быть доказано и без использования указанного закона (это открытие опровергло точку зрения Брауэра о том, что при получении финитных результатов должны быть запрещены нефинитные умозаключения). На 2-й вопрос – потому что если бы противоречие было получено при использовании закона исключенного третьего, то оно могло бы быть получено и без него; здесь впервые в истории логики произошло (предвосхитившее последующие работы Гёделя [ГЕДЕЛЬ]30-х гг.) доказательство относительной непротиворечивости формальной аксиоматической системы, т.е. такое доказательство непротиворечивости, которое использует презумпцию о непротиворечивости другой системы. Колмогоров точно очертил круг тех суждений, для которых составленные из них тавтологии классической логики высказываний [ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ]являются интуиционистски обоснованными: это суть те и только те суждения, для которых выполняется двойного отрицания закон. В этой же статье Колмогоров впервые предложил позитивный анализ обоснованности с точки зрения интуиционизма, традиционной, или «классической», математики. Одновременно он впервые сделал интуиционистскую логику объектом строгого математического анализа. В статье была предложена первая система аксиом для этой логики, ныне известная как минимальное исчисление для отрицания и импликации.

В 1-м разделе статьи «Zur Deutung...» («К толкованию...») Колмогоров наполняет формулы интуиционистской пропозициональной логики новым содержанием, свободным от философских предпосылок интуиционизма. Он предлагает рассматривать каждую такую формулу не как утверждение, а как проблему (т.е. как требование указать или построить объект, подчиненный тем или иным заранее заданным условиям). Понятие проблемы, или задачи, есть одно из фундаментальных понятий логики; Колмогоров был первым, кто включил это понятие в логико-математический дискурс, предвосхитив т.н. семантику реализуемости (Клини – Нельсона). Предложенная Колмогоровым интерпретация интуиционистской логики близка к концепции Гейтинга [ГЕЙТИНГ], однако у последнего отсутствует четкое различение между суждением и проблемой. Существенным этапом в становлении логического мышления явилось предложенное Колмогоровым уточнение представления о сводимости одной проблемы к другой. Сам Колмогоров впоследствии так определял цель статьи: «Работа писалась в надежде на то, что логика решения задач сделается со временем постоянным разделом курса логики. Предполагалось создание единого логического аппарата, имеющего дело с объектами двух типов – высказываниями и задачами». Во 2-м разделе статьи выдвигается и обосновывается следующий взгляд: с интуиционистской точки зрения нельзя, вообще говоря, рассматривать отрицание общего суждения в качестве содержательного суждения. «Но тогда, – указывает Колмогоров, – исчезает предмет интуиционистской логики, поскольку теперь принцип исключенного третьего оказывается справедливым для всех суждений, для которых отрицание вообще имеет смысл. Возникает, однако, новый вопрос: какие логические законы справедливы для суждений, отрицание которых не имеет смысла?»

Сочинения:

1. Основные понятия теории вероятностей. М., 1974;

2. Введение в математическую логику. М., 1982 (соавтор Драгалин А.Г.);

3. Математическая логика: Дополнительные главы. М., 1984 (соавтор Драгалин А.Г.);

4. Избр. труды. Математика и механика. М., 1985;

5. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1986;

6. Теория информации и теория алгоритмов. М., 1987;

7. Математика – наука и профессия. М., 1988;

8. Математика в ее историческом развитии. М., 1991;

9. Новгородское землевладение XV века. М., 1994;

10. Современные споры о природе математики. – «Научное слово», 1929, № 6;

11. Современная математика. – Сб. статей по философии математики. М., 1936;

12. Предисловие. – В кн.: Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. М., 1936;

13. Предисловие редактора перевода. – В кн.: Петер Р. Рекурсивные функции. М., 1954;

14. Предисловие. – В кн.: Эшби У.Р. Введение в кибернетику. М., 1958;

15. Жизнь и мышление как особые формы существования материи. – В кн.: О сущности жизни. М., 1965;

16. Письма А.Н. Колмогорова к А.Гейтингу. – «Успехи математических наук», 1988, т. 43, вып. 6;

17. Семиотические послания. – «Новое литературное обозрение», 1997, № 24.

Литература:

1.  Успенский В.А. Наш великий современник Колмогоров. – В кн.: Колмогоров А. Математика в ее историческом развитии. М., 1991;

2. Колмогоров в воспоминаниях. М., 1993;

3. Uspensky V.A. Kolmogoıov and mathematical logic. – «The Journal of Symbolic Logic», 1992, vol. 57. N 2, P. 385–412;

4. Youshckevitch A.P. A.N.Kolmogorov: Historian and Philosopher of Mathematics. – «Historia mathematica», 1983, vol. 10, N 4, P. 383–395.

В.А.Успенский