1. Большая советская энциклопедия

Степенной ряд

Степенно́й ряд

Ряд вида a0 + a1z + a2z2 +... + anzn +...,

где коэффициенты a0, a1, a2,..., an,... — комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного z. Областью сходимости С. р. является, вообще говоря, открытый круг D = {z: |z| < R} с центром в точке z = 0. Этот круг называется кругом сходимости С. р., а его радиус R — радиусом сходимости С. р. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку z = 0 (в этом случае R = 0; пример: Степенной ряд ) или совпадать со всей комплексной плоскостью (R = ∞; пример: Степенной ряд. Рис. 2 ). Радиус сходимости С выражается через его коэффициенты по формуле Коши — Адамара

Степенной ряд. Рис. 3

.

Во всех точках круга сходимости С. р. сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности |z| = R) С. р. может как сходиться, так и расходиться. Примеры: Степенной ряд. Рис. 4 , R = 1, ряд расходится в каждой точке окружности |z|=1;

Степенной ряд. Рис. 5

, R = 1,

ряд абсолютно сходится во всех точках окружности |z|=1. В любой внешней точке круга сходимости (lzl > R) С. р. расходится. Внутри круга сходимости сумма С. р. Степенной ряд. Рис. 6 является аналитической функцией (См. Аналитические функции); производные любого порядка функции f (z) можно получить почленным дифференцированием данного ряда, причём С. р. совпадает с Тейлора рядом своей суммы.

А. А. Гончар.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me

Значения в других словарях

  1. Степенной Ряд — 1)С. р. по одному комплексному переменному z — функциональный ряд вида где a — центр ряда, bk — его коэффициенты, bk(z-a)k — члены ряда. Существует число r, называемое радиусом сходимости С. Математическая энциклопедия
  2. СТЕПЕННОЙ РЯД — СТЕПЕННОЙ РЯД — ряд вида a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2 +...+an(x-x0)n+..., где коэфициенты a0, a1, a2, ..., an, ... не зависят от переменного x; x0 называется центром степенного ряда. Большой энциклопедический словарь