Ортогональные многочлены

Ортогона́льные многочлены

Специальные системы многочленов {р_п (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом ρ(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через , а система О. м., старшие коэффициенты которых равны 1,— через . В краевых задачах математической физики часто встречаются системы О. м., для которых вес ρ(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)

Многочлен р_п (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению

где γ_n =n [(α₁ + (n + 1)β₂].

Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и ρ(х).

1) Якоби многочлены {Р_п ^(λ,μ)(х)} — при а = —1, b = 1 ρ(х) = (1—х)^λ (1 + x)^μ, λ > —1, μ > —1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям λ и μ: λ = μ— Ультрасферические многочлены (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); λ = μ = —¹/₂, т. е. — Чебышева многочлены 1-го рода T_n (x); λ = μ = ¹/₂, т. е. — Чебышева многочлены 2-го рода U_n (x); λ = μ = 0, т. е. ρ(х) ≡ 1 — Лежандра многочлены Р_п (х).

2) Лагерра многочлены L_n (x) — при а = 0, b = + ∞ и ρ(х) = е^—х (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра — при .

3) Эрмита многочлены Н_n (х) — при а = —∞, b = + ∞ и (их называют также многочленами Чебышева — Эрмита).

О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов р_n (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена р_n (х) лежит один нуль многочлена p_n+1 (х). Многочлен р_n (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига

где A_n — постоянное, а β(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последовательных О. м. , , связаны рекуррентным соотношением:

,

где а_п+2 и λ_n+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если

,

то

;

Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла в непрерывную дробь с элементами вида х — a_n и числителями λ_n—1. Знаменатели φ_n (х)/р_n (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [a, b ] относительно веса ρ(х).

Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию (См. Гипергеометрические функции).

Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций.

В. И. Битюцков.