Чебышева многочлены

Чебыше́ва многочле́ны

1) Ч. м. 1-го рода — специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2,... определяются формулой:

В частности, Т₀ = 1; T₁ = х; T₂ = 2x² ―1; T₃ = 4x³ ― 3x; T₄ = 8x⁴ ― 8x² + 1. Ч. м. T_n (x) ортогональны (см. Ортогональные многочлены) на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 — x²)^―1/2. Дифференциальное уравнение:

(1 — x²) у" — ху + n²у = 0.

Рекуррентная формула: T_n+1(x) = 2xTn (х) — T_n―1(x).

Ч. м. 1-го рода являются частным случаем Якоби многочленов (См. Якоби многочлены) P_n ^(αβ)(x):

.

2) Ч. м. 2-го рода U_n (x) — ортогональная на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 —x²)^1/2 система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, например рекуррентным соотношением:

(1 — x²) U_n―1(х) = xTn (х) ― T_n+1(х).

Лит.: Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2—3, М.—Л., 1947—48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.