Лежандра многочлены
Лежа́ндра многочлены
Сферические многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782—85) независимо друг от друга. Для n = 0,1,2,... Л. м. Р (х) могут быть определены формулой:
,
в частности:
, 
, 
,
,
,
и т.д. Все нули многочлена Pn (x) — действительные и лежат в основном промежутке [—1, +1], перемежаясь с нулями многочлена Pn+i (x). Л. м. — Ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [—1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд по Л. м. произвольной функции f (x), интегрируемой на отрезке [—1, +1]:
,
где 
.
Характер сходимости рядов по Л. м. примерно тот же, что и рядов Фурье.
Явное выражение для Л. м.:
.
Производящая функция:
(Л. м. — коэффициенты при n-й степени в разложении этой функции по степеням t). Рекуррентная формула:
nPn (x) + (n - 1) Pn-2(x) - (2n - 1) xPn-1(x) = 0.
Дифференциальное уравнение для Л. м.
возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также Сферические функции.
Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. — Л., 1963.
В. Н. Битюцков.
Значения в других словарях
- Лежандра Многочлены — Сферические многочлены, — многочлены, ортогональные на сегменте [ -1,1] с единичным весом Стандартизованные Л. м. определяются Родрига формулой и имеют представление Наиболее употребительны формулы Л. Математическая энциклопедия
- ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ — ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ — специальная система многочленов, ортогональных с весом 1 на отрезке (-1; 1). Рассматривались А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782-85). Большой энциклопедический словарь
