1. Большая советская энциклопедия

Определитель

Определи́тель

Детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана Матрица порядка n, т. е. квадратная таблица, составленная из п2 элементов (чисел, функций и т. п.):

Определитель (1)

(каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведением n элементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида

∑ ± a1αa2β...anγ. (2)

В этой формуле α, β, ..., γ есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n. Перед членом берётся знак +, если перестановка α, β, ..., γ чётная, и знак – , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам α, β, ..., γ чисел 1, 2, ..., n. Число различных перестановок n символов равно n! = 1·2·3·...·n; поэтому О. содержит n! членов, из которых 1/2n! берётся со знаком + и 1/2n! со знаком –. Число n называется порядком О.

О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:

Определитель. Рис. 2 (3)

(или, сокращённо, в виде |aik|). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:

Определитель. Рис. 3 = a11a22 – a12a21,

Определитель. Рис. 4

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31.

О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование: Определитель. Рис. 5 равен площади параллелограмма, построенного на векторах a1 = (x1, y1) и a2 = (х2.у2), а Определитель. Рис. 6 равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a1 = (x1, y1, z1), a2 = (x2, у2, z2) и а3 = (х3, y3, z3) (системы координат предполагаются прямоугольными).

Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени (линейные уравнения (См. Линейное уравнение)). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:

Определитель. Рис. 7 (4)

Эта система имеет одно определённое решение, если О. |aik|, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное xm (m = 1, 2, ..., n) равно дроби, у которой в знаменателе стоит О.|aik|, а в числителе — О., получаемый из |aik| заменой элементов m-го столбца (т. е. коэффициентов при хт) числами b1, b2, ..., bn. Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными

Определитель. Рис. 8

решение даётся формулами

Определитель. Рис. 9 ; Определитель. Рис. 10 .

Если b1 = b2 = ..., = bn = 0, то систему (4) называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |aik| = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитической геометрии. Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать при помощи О.; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (х3, y3, z3), может быть записано в виде:

Определитель. Рис. 11 = 0.

О. обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:

1) O. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:

Определитель. Рис. 12 = Определитель. Рис. 13 ;

2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, например:

Определитель. Рис. 14 = – Определитель. Рис. 15 ;

3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, например:

Определитель. Рис. 16 = 0;

4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, например:

Определитель. Рис. 17 = k Определитель. Рис. 18 ;

5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) — те же, что и в данном О.; так, например:

Определитель. Рис. 19 = Определитель. Рис. 20 + Определитель. Рис. 21 ;

6) О. не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, например:

Определитель. Рис. 22

= Определитель. Рис. 23 ;

7) О. может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Разложение О. (3) по элементам i-й строки имеет следующий вид:

Определитель. Рис. 24 = ai1A i1 + ai2Ai2 + ...+ainAin.

Коэффициент Aik, стоящий при элементе aik в этом разложении, называется алгебраическим дополнением элемента aik. Алгебраическое дополнение может быть вычислено по формуле: Aik = (–1)i + kDik, где Dik — минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу aik, то есть О. порядка n-1, получающийся из данного О. посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aik. Например, разложение О. 3-го порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:

Определитель. Рис. 25

= –a12 Определитель. Рис. 26 + a22 Определитель. Рис. 27 – a32 Определитель. Рис. 28 .

Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление О. n-го порядка приводится к вычислению n определителей (n - 1)-го порядка. Так, вычисление О. 5-го порядка приводится к вычислению пяти О. 4-го порядка; вычисление каждого из этих О. 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырёх О. 3-го порядка (формула для вычисления О. 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления О. практически применим лишь для О. сравнительно небольших порядков. Для вычисления О. большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления О. n-го порядка приходится выполнять примерно n3 арифметических операций).

Отметим ещё правило умножения двух О. n-го порядка: произведение двух О. n-го порядка может быть представлено в виде О. того же n-го порядка, в котором элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу, получается, если каждый элемент i-й строки первого множителя умножить на соответствующий элемент k-го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение О. двух матриц равно О. произведения этих матриц.

В математическом анализе О. систематически используются после работ немецкого математика К. Якоби (2-я четверть 19 в.), исследовавшего О., элементы которых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби (Якобиан)

Определитель. Рис. 29 .

Определитель Якоби равен коэффициенту искажения объёмов при переходе от неременных х1, x2, ..., хп к переменным

y1 = f1(x1, ..., xn),

y2 = f2(x1, ..., xn),

………………….

yn = fn(x1, ..., xn).

Тождественное равенство в некоторой области этого О. нулю является необходимым и достаточным условием зависимости функций f1(x1, ..., xn), f2(x1, ..., xn), ..., fn(x1, ..., xn).

Во 2-й половине 19 в. возникла теория О. бесконечного порядка. Бесконечными О. называются выражения вида:

Определитель. Рис. 30 (5)

(односторонний бесконечный О.) и

Определитель. Рис. 31

(двусторонний бесконечный О.). Бесконечный О. (5) есть предел, к которому стремится О.

Определитель. Рис. 32

при бесконечном возрастании числа n. Если этот предел существует, то О. (5) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Исследование двустороннего бесконечного О. иногда можно привести к исследованию некоторого одностороннего бесконечного О.

Теория О. конечного порядка создана в основном во 2-й половине 18 в. и 1-й половине 19 в. (работами швейцарского математика Г. Крамера, французских математиков А. Вандермонда, П. Лапласа, О. Коши, немецких математиков К. Гаусса и К. Якоби). Термин «О.» («детерминант») принадлежит К. Гауссу, современное обозначение — английскому математику А. Кэли.

Лит. см. при статьях Линейная алгебра, Матрица.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me

Значения в других словарях

  1. определитель — -я, м. 1. То, чем определяется, обусловливается что-л. --- наша пропаганда и пропаганда всех социал-демократических рабочих входит одним из определителей того, будет революция или нет. Малый академический словарь
  2. Определитель — Детерминант, квадратной матрицы А=||aij|| порядка пнад ассоциативно-коммутативным кольцом K с единицей 1 — элемент кольца K, равный сумме всех членов вида где i1, . . ., in- перестановка чисел 1, . . ., п,a t- число инверсий перестановки i1,..., in. Математическая энциклопедия
  3. определитель — Определ/и́/тель/. Морфемно-орфографический словарь
  4. определитель — орф. определитель, -я Орфографический словарь Лопатина
  5. определитель — ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ -я; м. 1. Книжн. То, чем определяется, обусловливается что-л. Звук может быть определителем скорости. Главным определителем времени является движение Солнца в космическом пространстве. 2. Спец. Толковый словарь Кузнецова
  6. определитель — ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, я, м. 1. Устройство для определения чего-н., а также вообще то, с помощью чего можно что-н. точно определить, установить. Телефон с определителем номера. О. ритма. 2. Книга для справок при определении чего-н. (спец.). О. растений. Толковый словарь Ожегова
  7. определитель — ОПРЕДЕЛ’ИТЕЛЬ, определителя, ·муж. (·книж. ). 1. То, что определяет, выражает собою что-нибудь. 2. Книга, служащая для справок при определении чего-нибудь (научн.). Определитель растений. Определитель грибов. Толковый словарь Ушакова
  8. Определитель — (Determinant). — Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными: а1х + b1у = c1, а2х + b2у = c2, получаем следующие выражения для x и у: x = (c1b2 — c2b1)/(a1b2 — a2b1), y = (a1c2 — a2c1)/(a1b2 — a2b1) . Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
  9. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ (детерминант) — составленное по определенному правилу из n2 чисел математическое выражение, применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений 1-й степени. Число n называется порядком определителя. Большой энциклопедический словарь
  10. определитель — определитель I м. 1. То, чем определяется, обусловливается что-либо. 2. Руководство — книга, таблица и т.п. — для справок или для определения чего-либо. II... Толковый словарь Ефремовой
  11. определитель — См. определять Толковый словарь Даля