Регрессия

I

Регре́ссия

моря (от лат. regressio — обратное движение, отход), отступание моря от берегов. Происходит в результате поднятия суши, опускания дна океана или уменьшения объёма воды в океанических бассейнах (например, во время ледниковых эпох). Р. происходили многократно в различных районах Земли на протяжении всей её истории. См. также Трансгрессия.

II

Регре́ссия

в теории вероятностей и математической статистике, зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости у = f(х), когда каждому значению независимой переменной х соответствует одно определённое значение величины у, при регрессионной связи одному и тому же значению х могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины у. Если при каждом значении х = x_i наблюдается n_i, значений y_i1, ..., величины у, то зависимость средних арифметических от x_i и является Р. в статистическом понимании этого термина. Примером такого рода зависимости служит, в частности, зависимость средних диаметров сосен от их высот; см. табл. в ст. Корреляция.

Изучение Р. в теории вероятностей основано на том, что случайные величины Х и Y, имеющие совместное распределение вероятностей, связаны вероятностной зависимостью: при каждом фиксированном значении Х = х величина Y является случайной величиной с определённым (зависящим от значения х) условным распределением вероятностей. Р. величины Y по величине Х определяется условным математическим ожиданием Y, вычисленным при условии, что Х = х:

Е(Y |х) = u(х).

Уравнение у = u(х), в котором х играет роль «независимой» переменной, называется уравнением регрессии, а соответствующий график — линией регрессии величины Y по X. Точность, с которой уравнение Р. Y по Х отражает изменение Y в среднем при изменении х, измеряется условной дисперсией величины Y, вычисленной для каждого значения Х = х:

D(Y |х) = σ²(x).

Если σ²(х) = 0 при всех значениях х, то можно с достоверностью утверждать, что Y и Х связаны строгой функциональной зависимостью Y = u(X). Если σ²(х) = 0 при всех значениях х и u(х) не зависит от х, то говорят, что Р. Y по Х отсутствует. Аналогичным образом определяется Р. Х по Y и в частности, уравнение Р. х = υ(у), = Е(Х|Y = у). Функции у = u(х) и х = υ(у), вообще говоря, не являются взаимно обратными.

Линии Р. обладают следующим замечательным свойством: среди всех действительных функций f (х) минимум математического ожидания Е[Y — f(X)]² достигается для функции f(x) = u(х), т. е. Р. Y по Х даёт наилучшее, в указанном смысле, представление величины Y по величине X. Это свойство используется для прогноза Y по X: если значение Y непосредственно не наблюдается и эксперимент позволяет регистрировать лишь компоненту Х вектора (X, Y), то в качестве прогнозируемого значения Y используют величину u (X).

Наиболее простым является случай, когда Р. Y по Х линейна:

Е(Y|x) = β₀ + β₁x.

Коэффициенты β₀ и β₁, называются коэффициентами регрессии, определяются равенствами

,

где m_Х и m_Y — математические ожидания Х и Y, и — дисперсии Х и Y, а ρ — коэффициент корреляции между Х и Y. Уравнение Р. при этом выражается формулой

В случае, когда совместное распределение Х и Y нормально, обе линии Р. у = u(х) и х = υ(у) являются прямыми.

Если Р. Y по Х отлична от линейной, то последнее уравнение есть линейная аппроксимация истинного уравнения Р.: математическое ожидание Е[Y — b₀ — b₁X]² достигает минимума b₀ и b₁ при b₀ = β₀ и b₁ = β₁. Особенно часто встречается случай уравнения Р., выражающегося линейной комбинацией тех или иных заданных функций:

у = u(Х) = β₀φ₀(x) + β₁φ₁(x) + ... + β_mφ_m(x).

Наиболее важное значение имеет параболическая (полиномиальная) Р., при которой φ₀(x) = 1 , φ₁(x) = x, ..., φ_m(x) = x^m.

Понятие Р. применимо не только к случайным величинам, но и к случайным векторам. В частности, если Y — случайная величина, а Х = (X₁, ..., X_k) — случайный вектор, имеющие совместное распределение вероятностей, то Р. Y по X определяется уравнением

y = u ( x₁, ..., x_k),

где u( x₁, ..., x_k) = E{Y|X = x₁, ... , X_k = x_k}.

Если

u ( x₁, ..., x_k) = β₀ + β₁x₁ + ... + β_kx_k,

то Р. называется линейной. Эта форма уравнения Р. включает в себя многие типы Р. с одной независимой переменной, в частности полиномиальная Р. Y по Х порядка k сводится к линейной Р. Y по X₁, ..., X_k, если положить X_k = X^k.

Простым примером Р. Y по Х является зависимость между Y и X, которая выражается соотношением: Y = u(X) + δ, где u(x) = Е(Y IX = х), а случайные величины Х и δ независимы. Это представление полезно, когда планируется эксперимент для изучения функциональной связи у = u(х) между неслучайными величинами у и х.

На практике обычно коэффициенты Р. в уравнении у = u(х) неизвестны и их оценивают по экспериментальным данным (см. Регрессионный анализ).

Первоначально термин «Р.» был употреблен английским статистиком Ф. Гальтоном (1886) в теории наследственности в следующем специальном смысле: «возвратом к среднему состоянию» (regression to mediocrity) было названо явление, состоящее в том, что дети тех родителей, рост которых превышает среднее значение на а единиц, имеют в среднем рост, превышающий среднее значение меньше чем на а единиц.

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Кендалл М. Дж., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.

А. В. Прохоров.