Конечных разностей исчисление

Коне́чных разностей исчисле́ние

Раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления (См. Дифференциальное исчисление) и интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление), где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y₁= f (x₁), y₂ = f (x₂),..., y_k = f (x_k),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x₀,..., x_k,,... (x_k = х₀ + kh, h — постоянное, k — целое), называют выражения:

Δy_k ≡ Δf (x_k) = f (x_k+1) — f (x_k)

(разности 1-го порядка),

Δ²y_k ≡ Δ²f (x_k) = Δf (x_k+1)- Δf (x_k) = f (x_k+2)-2f (x_k+1) + f (x_k)

(разности 2-го порядка),

Δⁿy_k ≡ Δⁿf (x_k) = Δ^n-1f (x_k+1) — Δ^n-1f (x_k)

(разности n-го порядка).

Соответственно, конечные разности «назад» Δⁿy_к определяются равенствами

Δⁿy_к = Δⁿy_{к + n}.

При интерполяции (См. Интерполяция) часто пользуются т. н. центральными разностями δⁿy, которые вычисляются при нечётном n в точках х = x_i+¹l₂h, а при чётном n в точках х = x_i по формулам

δf (x_i + ¹/₂h) ≡ δy_i+1/2 = f (x_i+1) — f (x_i),

δ²f (x_i) ≡ δ²y_i = δy_i+1/2,

δ^2m-1f (x_i + ¹/₂h) ≡ δ^2т—1yi_+1/2 = δ^2т—2yi₊₁-δ^2т—2yi,

δ^2mf (x_i) ≡ δ^2ту_i = δ^2т—1yi_+1/2 — δ^2т—1yi_-1/2

Они дополняются средними арифметическими

,

,

где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают

.

Центральные разности δⁿy связаны с конечными разностями Δⁿy соотношениями

δ^2ту_i = Δ^2ту_i-m,

δ^2т+1yi_+1/2 = Δ^2m+1y_i-m

Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. x_k+1 — x_k не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

…………………………..……………………

.

Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Δⁿy_k = f ⁽ⁿ⁾( ), где x_k≤ ≤x_k+n. Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Например, для приближённого решения (См. Приближённое решение)дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).

Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида

F [x,(f (x),...,Δⁿf (x)] = 0 (1)

задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде

Ф [х, f (x), f (x₁),..., f (x_n)] = 0,

выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

f (x+n) + a₁f (x+n-1) +... + a_nf (x) = 0,

где a₁,..., a_n — постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни λ₁, λ₂,... λ_n его характеристического уравнения

λⁿ + a₁λ^n-1+...+a_n = 0.

Тогда общее решение данного уравнения представится в виде

f (x) = С₁λ₁^х + C₂λ₂^x +... + C_nλ_n^x,

где C₁, C₂,..., C_n — произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел λ₁, λ₂,..., λ_n нет равных).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.

Под редакцией Н. С. Бахвалова.