ЧИСЛО

ЧИСЛО – одно из основных понятий математики, в которой обычно выделяют натуральное, порядковое, количественное, рациональное, иррациональное, комплексное числа. Традиция философского осмысления числа была заложена в пифагорейской школе. Пифагорейцы, согласно свидетельству Аристотеля [АРИСТОТЕЛЬ], полагали числа «причиной и началом» вещей, а отношения чисел основой всех отношений в мире. Числа сообщают миру упорядоченность и делают его космосом [КОСМОС]. Обращение к числу, как к организующему принципу бытия, было воспринято Платоном,а позднее неоплатониками. Платон рассматривает числа при различении подлинного и неподлинного бытия, т.е. того, что существует и мыслимо само по себе, и того, что существует лишь благодаря другому и познается только в отношении. Первое есть Благо [БЛАГО], а второе – все чувственно воспринимаемые вещи. Число занимает срединное положение между тем и другим. Оно дает меру и определенность вещам, делая их причастными бытию. Благодаря числу вещи могут быть ясно отличимы друг от друга (подвергнуты пересчету) и, таким образом, мыслимы, а не только ощущаемы. Но само число зависимо от Блага и существует только благодаря ему. Неоплатоники (прежде всего Ямвлих и Прокл) почитали числа столь высоко, что даже не называли их сущими. Устроение мира исходит от числа, но не непосредственно. По мысли неоплатоников, числа посредством эманаций передают организующее начало от Единого к Уму, который в свою очередь есть первое мыслимое и первое сущее, сообщающее мыслимость и бытие всему остальному. Сами числа сверхсущны и, пребывая выше Ума, недоступны знанию. В неоплатонизме принято (возможно, заимствованное от пифагорейцев) мистическое отношение к числу. Прокл прямо отождествляет числа с богами. Но неоплатоники проводят строгое различение между божественными числами (прямой эманацией Единого) и математическими числами (составленными из единиц). Последние суть несовершенные подобия первых.

Совершенно иной подход развивает Аристотель [АРИСТОТЕЛЬ], который отказывает числу в столь высоком онтологическом статусе. Он приводит целый ряд аргументов, показывающих, по его мнению, что утверждение о самостоятельном существовании чисел приводит к многочисленным нелепостям. Числа, по Аристотелю, являются лишь особым аспектом в рассмотрении вещей. Арифметика, будучи (как и любая другая наука) наукой о реально сущих вещах, выделяет в этих вещах только одну сторону и рассматривает их с точки зрения их количества. Результатом такого рассмотрения и являются числа и их свойства.

В античности числом считались только натуральные числа. Евклид определял число, как «множество, составленное из единиц». (Начала Евклида, кн. VII. М.–Л., 1949, с. 10). Пифагорейцы (по свидетельству Прокла) сделали важное различение между числом и величиной, заметив, что все числа имеют общую меру и делимы до определенного предела. Величины же могут быть несоизмеримы (как, например, сторона и диагональ квадрата) и делимы до бесконечности. Наряду с различением между числом и величиной в античности числа отделяли также от отношения. Поэтому дроби числом не считались. Евклид строит в книгах V–VI «Начал» особую теорию отношений, даже не упоминая о ее возможной связи с теорией чисел (книги ѴII–IХ), несмотря на то что предложения обеих теорий очень часто дублируют друг друга. Такое сходство операций, по-видимому, не имело большого значения для античной мысли, которая рассматривала число и отношение как две различные категории, по-разному описывающие сущность.

Последующее развитие математики вело к сглаживанию различий между тремя выделенными понятиями (число, величина, отношение). Для алгебраического подхода, ставшего в известный момент доминирующим в европейской математике, наибольшую важность имел именно характер операций, а не свойства сущностей. Одинаковость операций, производимых над числами, величинами и отношениями, позволяет рассматривать их как объекты одного рода с общим названием – число. Ньютон прямо писал, что под числами следует понимать не множество единиц, а отношение одной величины к другой, принятой за единицу. Операциональный подход сделал возможным введение в математику своего рода псевдосущностей – математических объектов, которые не всегда соотносятся с реальностью, но позволяют унифицировать проводимые операции. Так, еще в Средние века для унификации коммерческих расчетов были введены отрицательные числа, с помощью которых стало легче учитывать долг или убыток. Точно так же для унификации вычислительных процедур при решении алгебраических уравнений были введены иррациональные, а затем мнимые числа, с которыми оказалось возможным оперировать точно так же, как с целыми или рациональными.

Философия Нового времени рассматривает число как принцип познания и инструмент мысли. Яснее всего эта позиция выражена у Канта [КАНТ], показавшего, что явлениепознано тогда, когда сконструировано согласно априорным понятиям – формальным условиям опыта. Число – одно из таких условий. Оно задает определенный принцип или схему конструирования. Всякий объект потому является исчислимым и измеряемым, что сконструирован сообразно схеме числа (или величины). Вследствие такого конструирования всякое явление становится предметом математики или математического естествознания. Рассудок не может мыслить природу иначе как подчиненной числовым закономерностям именно потому, что сам строит ее в соответствии с ними. Тем самым оказывается объяснена сама возможность применения математики в изучении природы.

Расширение понятия числа ставит вопрос о его общем определении. Коль скоро все числа суть объекты одного рода, должна существовать возможность сведения одних к другим – прежде всего иррациональных к натуральным. В этой связи необходимо найти строгое определение самого натурального числа.

Попытка определить действительное число была предпринята в кон. 19 в. Вейерштрассом, Кантором [КАНТОР]и Дедекиндом. Три построенные ими определения, весьма различные между собой, одинаково подразумевали необходимость прибегнуть для определения иррационального числа к актуально бесконечной совокупности рациональных чисел. Возможность конструктивной определяющей процедуры была, следовательно, исключена для иррациональных чисел. Это обстоятельство можно интерпретировать и так, что натуральные и рациональные числа, с одной стороны, и иррациональные – с другой, являются объектами разной природы, принципиально несводимыми друг к другу. Тем самым в известном смысле восстанавливается противопоставление числа и величины, введенное в античной математике. Определение натурального числа было предложено Пеано (1900). Однако разработанные в 19 в. определения были серьезно переосмыслены в ходе дискуссии по основаниям математики в начале 20 в. Важно заметить, что неудовлетворенность предложенными ранее определениями была связана не с математическими, а скорее с философскими проблемами. Определения, данные Пеано, Дедекиндом или Кантором (которые используются в математике и по сей день), нужно было обосновать с помощью фундаментальных принципов, коренящихся в самой природе знания. Следует выделить три таких философско-математических подхода, называемых логицизм [ЛОГИЦИЗМ], интуиционизм и формализм [ФОРМАЛИЗМ]. Рассел, разработавший философскую базу логицизма, полагал, что истинность математических аксиом (в том числе аксиом Пеано) неочевидна. Она (как и истинность любого знания) обнаруживается сведением к наиболее простым и непосредственно устанавливаемым некоторой «суперинтуицией» (выражение Лакатоса [ЛАКАТОС]) фактам. Выражением таких фактов Рассел счел аксиомы логики, которые он (совместно с Уайтхедом [УАЙТХЕД]) положил в основание определения числа, основываясь при этом на работах Фреге [ФРЕГЕ]. Одним из главных в логической теории Рассела и Уайтхеда является понятие класса, отождествляемого с понятием свойства, а также с введенной Фреге пропозициональной функцией. Натуральное число n есть класс всех классов, содержащих n элементов. Этот класс классов (или свойство классов) устанавливается через отношение взаимно-однозначного соответствия, что позволяет избежать круга в определении. Дробь – отношение натуральных чисел – это уже не класс, а отношение классов. Действительное число оказывается при этом классом отношений классов (т.е. классом дробей). Основатель интуиционистского направления Брауэр [БРАУЭР]исходил из прямо противоположной установки: логику он считал лишь абстракцией от математики, которая сама в себе содержит достаточные основания. Брауэр (вслед за Кронекером и Пуанкаре) рассматривал натуральный ряд как базовую интуицию, лежащую в основании всякой мыслительной деятельности. Последнюю он представлял в виде последовательности различимых между собой актов, определяющих дискретные моменты времени. Внутреннее представление временнóго ряда, как основной формы интеллектуальной активности, и есть представление натурального ряда чисел. Сведение к числовой последовательности является наиболее надежным обоснованием всякого математического понятия, т.к. представляет собой его редукцию к самым основам человеческого интеллекта. В частности, редукция понятия действительного числа к натуральным достигается Брауэром введением свободно становящихся последовательностей – последовательностей натуральных чисел, в которых каждый очередной элемент находится не по правилу, а в результате свободного выбора. Глава формальной школы Гильберт [ГИЛЬБЕРТ]видел обоснование математики в построении непротиворечивой аксиоматической базы, в рамках которой было бы возможно формальное обоснование любого математического понятия. В частности, он разработал аксиоматическую теорию действительных чисел, включающую как частный случай аксиоматику Пеано. В рамках этой теории представление о числе лишается всякой глубины и может быть сведено лишь к графическому символу, подставляемому по определенным правилам в формулы теории. Такой подход коррелятивен взгляду Кассирера [КАССИРЕР]на образование понятий в математике и естествознании, согласно которому числа суть не имеющие никакого собственного определения элементы в системе отношений. «Логическая определенность числа «четыре» дана благодаря его нахождению в ряду идеальной – и потому вневременно-значащей совокупности отношений, благодаря его месту в математически определенной числовой системе» (Кассирер Э. Познание и действительность. СПб., 1912, с. 39). Для Гильберта, однако, было важно еще и то, что указанная совокупность отношений представляется в виде завершенной графической конструкции. Все аксиомы и выводы из них должны быть представлены единому созерцанию. Такая непосредственная обозримость и завершенность и дает обоснованность математическим понятиям.

Г.Б.Гутнер