ГЕДЕЛЬ

ГЁДЕЛЬ (Gödel) Курт (27 апреля 1906, Брно, Австро-Венгрия – 14 января 1978, Принстон, США) – австрийский и американский логик и математик; окончил Венский университет; участвовал в работе Венского кружка, но довольно быстро отошел от него, не удовлетворенный уровнем обсуждений. Обращает на себя внимание относительно малое число опубликованных Гёделем работ и принципиальный характер задач, решаемых практически в каждой из них. Его диссертация (1930) была посвящена фундаментальному результату – доказательству теоремы полноты: «Формула истинна во всех моделях теории Th тогда и только тогда, когда она является теоремой Th», утвердившему формализованную классическую логику в качестве прочной основы для математики. Теореме полноты эквивалентна теорема существования модели: «Теория Th имеет модель тогда и только тогда, когда она непротиворечива».

За этими «оптимистичными» теоремами последовала та, которая при поверхностном понимании кажется весьма разочаровывающей. Это теорема Гёделя о неполноте: «Если непротиворечивая теория содержит арифметику, то в ней имеется формула, которую нельзя ни доказать, ни опровергнуть». Такая формула называется неразрешимой в данной теории. Доказательство теоремы о неполноте весьма устойчиво к смене формализмов и логических систем. В дальнейшем Россер и Подниекс ослабили условия данной теоремы и усилили ее следствия. (Обзор общематематически и философски важных вариаций теоремы неполноты дан в кн.: Гончаров С.С., Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. Введение в логику и методологию науки. М., 1994.)

Как заметил Гёдель, доказательство теоремы неполноты не формализуется внутри самой арифметики, а это означает, что мы не можем доказать непротиворечивость теории Th внутри самой Th, поскольку тогда мы доказали бы неразрешимую формулу (3-я теорема Гёделя). Доказательство 3-й теоремы не столь устойчиво, оно зависит от свойств кодирования формул числами, и был построен ряд кодирований, при которых можно внутри самой теории доказать формулу, содержательно означающую ее непротиворечивость. (Подробный анализ данных вопросов и связи их с программой Гильберта см. ст. Формализм [ФОРМАЛИЗМ].)

Гёдель построил вложение классической логики в интуиционистскую (независимо от Гливенко [ГЛИВЕНКО]), а интуиционистской – в модальную систему S4. Он доказал совместимость аксиомы выбора с множеств теорией [МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ] и дал конструкцию, обобщающую разветвленную иерархию Рассела. В модели Гёделя оказалась верна и континуум-гипотеза Кантора, так что он попутно доказал и ее совместимость. Эта модель была использована Коэном при доказательстве независимости аксиомы выбора.

В 1940, после аншлюса, ученый переехал в США, в Принстонский Институт высших исследований, и в 1948 принял гражданство США. В результате научных контактов с А.Эйнштейном, который придерживался мнения, что из общей теории относительности должна следовать направленность времени, Гёдель построил контрпример: модель Вселенной, в которой есть замкнутые мировые линии (т.е. в некоторых ее областях время ходит по кругу). За эту работу, которая в современной космологии положила начало целому направлению, он получил (по рекомендации самого Эйнштейна) Эйнштейновскую премию (1954).

В 1958 Гёдель построил принципиально новую интерпретацию типа реализуемости для интуиционистской арифметики, основанную на нахождении контрпримера и сохраняющую классическую истинность для всех отрицательных формул. В бумагах Гёделя после его смерти было найдено логическое доказательство существования Бога, но показательно, что сам Гёдель не публиковал его и старался о нем не говорить.

Сочинения:

1. Collected works, ed. S.Feferman et al., v. I–III. N. Y., 1986–1995;

2. Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств. – «Успехи математических наук», 1948, т. 3, вып. 1;

3. Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения. – В кн.: Математическая теория логического вывода. М., 1967.

Литература:

1. Нагель Э., Ньюмен Д. Теорема Гёделя. М., 1970;

2. Подниекс К.М. Вокруг теоремы Гёделя. Рига, 1981;

3. Брутян Г.А. Письмо К.Гёделя. – «ВФ», 1984, № 12.

H.H.Непейвода