Группа

Один из основных типов алгебраических систем. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства алгебраич. операций, наиболее часто встречающихся в математике и ее приложениях (примеры таких операций — умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т. д.). Понятие Г. явилось исторически одним из первых примеров абстрактных алгебраич. систем и послужило во многих отношениях образцом при перестройке других математич. дисциплин на рубеже 19-20 вв., в результате к-рой понятие математич. системы (= структуры) стало основным в математике. Определение. Группой наз. произвольное множество Gс одной бинарной операцией, удовлетворяющей следующим аксиомам (если операцию записывать как умножение): 1) операция ассоциативна, т. е. для любых а, b, с из G; 2) операция гарантирует единицу, т. е. в Gсуществует такой элемент е, наз. единицей, что для любого аиз G; 3) операция гарантирует обратные элементы, т. е. для любого а из Gсуществует в Gтакой элемент х, наз. обратным к а, что Иногда вместо системы аксиом 1) — 3) пользуются равносильной системой из двух аксиом: 1) и 4) операция гарантирует левые и правые частные, т. в. для любых двух элементов а, b из Gсуществуют в G такие элементы х, у, наз. левым частным и правым частным от деления b на а, что ах= b, уа= b. Из определений следует, что единица в любой Г. единственна, для любого элемента из Г. обратный к нему элемент единствен и для любых элементов а, b из Г. оба частных от деления b на аединственны. Исторические замечания. Истоки понятия Г. обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из к-рых — теория решения алгебраич. уравнений в радикалах. В "Мемуаре об алгебраическом решении уравнений" Ж. Лагранжа (J. Lagrange, 1771) и одной работе А. Вандермонда (A. Vandermonde, 1771) впервые для нужд этой теории были применены подстановки. Особо важен для теории Г. "Мемуар" Ж. Лагранжа, где в терминах многочленов по существу получено разложение симметрической Г. подстановок на смежные классы по подгруппе. Глубокие связи между свойствами Г. подстановок и свойствами уравнении были указаны Н. Абелем (N. Abel, 1824) и Э. Галуа (Е. Galois, 1830). Вместе с тем Э. Галуа принадлежат конкретные достижения в теории Г.: открытие роли нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление простоты знакопеременных Г. степени и пр. Важную роль в систематизации и развитии этого направления алгебры сыграл трактат К. Жордана (С. Jordan, 1870) о Г. подстановок. Независимо идея Г. возникла в геометрии, когда в середине 19 в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные "геометрии" и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвященными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешел на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким "изучением геометрического родства" много занимался А. Мёбиус , исследовавший конгруэнтность, подобие, аффинность, коллинеацию и, наконец, "элементарные виды родства" геометрич. фигур, т. е. по существу топологич. эквивалентность. На более сознательном уровне классификация геометрий была дана А. Кэли (A. Cayley, 1854 и далее) и другими представителями английской школы теории инвариантов: А. Кэли явно пользовался термином "Г.", систематически использовал таблицы умножения, наз. теперь его именем (см. Кэли таблица), он доказал представимость всякой конечной Г. подстановками, пришел к пониманию Г. как системы, заданной порождающими элементами и определяющими соотношениями. Заключительным этаном на этом пути явилась "Эрлангенская программа" Ф. Клейна (F. Klein, 1872), положившая в основу классификации геометрий понятие Г. преобразований. Третий источник понятия Г.- теория чисел. Уже Л. Эйлер (L. Euler, 1761), изучая "вычеты, остающиеся при делении степеней", но существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение Г. на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс (С. Gauss, 1801) в "Арифметических исследованиях", занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая "композицию двоичных квадратичных форм", К. Гаусс по существу доказал, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву Г. Осознание в конце 19 в. принципиального единства теоретико-групповых идей, использовавшихся долгое время независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия Г. Так, С. Ли (S. Lie, 1895) уже определял Г. как совокупность преобразований, замкнутую относительно операции, к-рая ассоциативна и гарантирует единицу и обратные элементы. Изучение Г. без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом в 1916 книги О. Ю. Шмидта "Абстрактная теория групп". Примеры групп. Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие роль Г. в алгебре, в других разделах математики и в естествознании. а) Группы Галуа. Пусть K — конечное, се-парабельное и нормальное расширение поля k. Автоморфизмы поля К, оставляющие элементы подполя kнеподвижными, образуют Г. относительно их последовательного выполнения, наз. Галуа группой расширения . Основная теорема Галуа теории гласит: отображение, сопоставляющее каждой подгруппе Г. ее неподвижное подполе, является антиизоморфизмом решетки подгрупп Г. на решетку промежуточных подполей, заключенных между kи К. Приложение к вопросу о разрешимости уравнений в радикалах осуществляется следующим образом. Пусть f — многочлен от хнад нолем k, К — поле разложения f. наз. группой Галуа многочлена f над полем k(ее элементы естественным образом изображаются подстановками корней уравнения ). Оказывается, уравнение тогда и только тогда решается в радикалах, когда группа Галуа многочлена f разрешима (см. Разрешимая группа). Вэтом и других аналогичных примерах Г. возникают в форме Г. автоморфизмов математич. структур. Это не только одна из важнейших форм, но и вообще присущая только Г. форма применения, обеспечивающая им особое положение в алгебре. Дело в том, что автоморфизмы произвольных структур, говоря словами Галуа, всегда можно "группировать", тогда как определить на множестве автоморфизмов строение кольца или какой-нибудь другой полезной структуры удается лишь в специальных случаях. б) Гомологические группы. Ведущей идеей теории гомологии является применение теории (абе-левых) Г. к изучению категории топологич. пространств. Каждому пространству X сопоставляется семейство абелевых Г. и каждому непрерывному отображению — семейство гомоморфизмов Изучение гомологич. Г. (см. Гомологии группа).и их гомоморфизмов средствами теории Г. часто позволяет решить исходную топологич. задачу. Типичный пример — задача распространения: можно ли отображение , определенное на подпространстве Апространства X, распространить на все X, т. е. представить gкак суперпозицию вложения и нек-рого непрерывного отображения Если да, то в гомологиях должно быть т. е. каждый гомоморфизм можно пропустить через с заданным множителем . Если эта алгебраич. задача неразрешима, то и исходная топологич. задача неразрешима. Этим способом можно получать важные положительные результаты. Гомологич. Г. иллюстрируют другой типичный путь применения Г. — путь изучения неалгебраич. объектов с помощью алгебраич. систем, отражающих их поведение. Именно таков основной метод алгебраич, топологии. Аналогичный метод и, в частности, гомологич. Г. успешно используются и для изучения самих алгебраич. систем — Г., колец и пр. (напр., в теории расширений Г.). в) Группы симметрии. Понятие Г. позволяет в точных терминах охарактеризовать симметричность той или иной геометрич. фигуры. Именно, каждой фигуре можно сопоставить совокупность всех преобразований пространства, совмещающих данную фигуру с нею самой. Эта совокупность будет Г. относительно последовательного выполнения преобразований. Она и характеризует симметричность фигуры. Именно с таких позиций Е. С. Федоров в 1890 решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии. Существует всего 17 плоских федоровских Г., они были найдены непосредственно; пространственных федоровских Г. — 230, и только теория Г. позволила провести их исчерпывающую классификацию. Это был исторически первый случай применения теории Г. непосредственно в естествознании. Аналогичную роль играет теория Г. в физике. Так, в квантовой механике состояние физич. системы изображается точкой бесконечномерного векторного пространства. Если физич. система переходит из одного состояния в другое, то изображающая ее точка подвергается нек-рому линейному преобразованию. Соображения симметрии и теория представлений Г. линейными преобразованиями имеют здесь первостепенное значение. Указанные примеры иллюстрируют классифицирующую роль теории Г. всюду, где речь идет о симметрии. Изучая симметрию, по существу имеют дело с автоморфизмами систем (не обязательно математических), поэтому теория Г. незаменима в этих вопросах. Важнейшие классы групп. "Конечная цель" теории Г.- описать все групповые операции или, иначе, все Г. с точностью до изоморфизма. Теория Г. распадается на ряд разделов, выделяемых чаще всего дополнительными условиями на групповую операцию или внесением в Г. дополнительных структур, связанных определенным образом с групповой операцией. Старейшей и интенсивно развивающейся ветвью теории Г. является теория конечных групп. Важное место в ней занимает отыскание конечных простых Г., к к-рым относятся многие классические Г. матриц над конечными полями, а также "спорадические" простые конечные Г. (группы Матьё и др.)- На другом полюсе находятся конечные разрешимые Г., в них обычно интересуются специфическими системами подгрупп (холловых, карте-ровых и пр.), во многом определяющих строение самой Г. Часто конечные Г. возникают в форме Г. подстановок или матриц над конечными полями; изучению представлений матрицами и подстановками посвящено большое самостоятельное направление теории конечных Г. Типичным методом исследования бесконечных Г. является наложение на них того или иного условия конечности. Здесь наибольшее внимание привлекают периодические группы, локально конечные Г., Г. с условием максимальности для подгрупп ( нётеровы группы), Г . с условием минимальности для подгрупп ( артиновы группы), конечно порожденные группы, Г. конечного ранга (см. Ранг группы), финитно аппроксимируемые группы. При изучении абелевых групп важную роль играют полные абелевы Г., абелевы Г. без кручения и периодические абелевы Г., а в них — сервантные подгруппы и примарные подгруппы. Исследование произвольной абелевой Г. во многом сводится к теориям указанных классов с помощью теории расширений абелевых Г., развиваемой в основном гомология, методами (см. Расширение группы). Более широкими по отношению к классу абелевых Г. являются классы нильпотентных групп и разрешимых групп, теория к-рых также достаточно развита. Из обобщений нильпотентности и разрешимости наиболее употребительны локальная нильпотентность, локальная разрешимость, нормализаторное условие, а также многочисленные свойства, определяемые наличием в Г. субнормальных систем (см. Подгрупп система).того или иного типа. Заметную роль играют специальные классы разрешимых и нильпотентных Г.: сверхразрешимые группы, полициклические группы. Важной частью теории Г. является теория Г. преобразований (см. Преобразований группа), в том числе теория Г. подстановок (см. Подстановок группа).и теория линейных групп. Ряд важных классов Г. определяется внесением в Г. дополнительных структур, согласованных с групповой операцией; сюда относятся топологические группы, Ли группы, алгебраические группы, упорядоченные группы. Из других классов Г. следует отметить Г., свободные в том или ином многообразии (см. Свободная группа), полные группы, Г., аппроксимируемые в том или ином смысле, Г., определяемые условиями в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений, Г., выделяемые условиями на решетку подгрупп. Лит.:[1] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, М., 1972; [2] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [3] Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962; [4] Шмидт О. Ю., Избр. тр. Математика, М., 1959. с. 17-70; [5] Wussing H., Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes, В., 1969; [6] Федоров Е. С., Симметрия и структура кристаллов, М., 1949, с. 111-258; [7] Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М., 1969. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков.

Источник: Математическая энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. Группа — I Гру́ппа одно из основных понятий современной математики. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства действий, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях (примеры таких действий — умножение чисел, сложение векторов... Большая советская энциклопедия
  2. ГРУППА — (англ. group). 1. Некоторое количество предметов или организмов (индивидов), объединенных на основании их пространственной близости друг другу и/или к.-л. реальных связей между ними. Это понятие применяется и в отношении животных (см. Большой психологический словарь
  3. группа — -ы, ж. 1. Несколько человек, предметов или животных, находящихся вместе, близко друг от друга. Навстречу начдиву выехала группа всадников. А. Н. Толстой, Хмурое утро. На опушке леса --- я увидел наших бойцов. Они лежали группами по пять-шесть человек. Малый академический словарь
  4. группа — сущ., ж., употр. часто (нет) чего? группы, чему? группе, (вижу) что? группу, чем? группой, о чём? о группе; мн. что? группы, (нет) чего? групп, чему? группам, (вижу) что? группы, чем? группами, о чём? о группах... Толковый словарь Дмитриева
  5. группа — группа I ж. 1. Несколько человек, животных, растений, предметов, находящихся вместе или близко друг к другу. 2. Совокупность лиц, объединенных общей профессией, какой-либо деятельностью или общностью интересов, взглядов. Толковый словарь Ефремовой
  6. группа — ГР’УППА, группы, ·жен. (·нем. Gruppe). 1. Несколько предметов или людей, находящихся поблизости друг к другу. Группа островов. Группа деревьев. Рабочие расходились группами. Толковый словарь Ушакова
  7. группа — гру́ппа заимств. из нем. Gruppe, которое в свою очередь заимств. из франц. groupe, ит. gruppo "ком", связанных с нем. Kropf "зоб"; см. Гамильшег, EW 494; Клюге-Гётце 221. Этимологический словарь Макса Фасмера
  8. группа — Совокупность взаимопротивоположных элементов, на которой задана бинарная операция – сложение или умножение одних элементов на другие, согласно определенному закону композиции. Словарь лингвистических терминов Жеребило
  9. ГРУППА — ГРУППА (от нем. Gruppe — груп па) — англ. group; нем. Gruppe; ф groups; 1. Совокупность индивидов, объеди ненная любым общим признаком: об щим пространственным и временны! бытием, деятельностью, экон., демогр. психологическими и др. характеристиками. см. Социологический словарь
  10. группа — Заимствование из немецкого, где Grappe – "группа" через французский восходит к итальянскому grappa – "узел, группа". Этимологический словарь Крылова
  11. группа — Группы, ж. [нем. Gruppe]. 1. Несколько предметов или людей, находящихся поблизости друг к другу. Группа островов. Группа деревьев. Рабочие расходились группами. Большой словарь иностранных слов
  12. группа — Объединение юридически независимых фирм для проведения конкретных коммерческо-финансовых операций. Финансовый словарь терминов
  13. группа — Гру́пп/а. Морфемно-орфографический словарь
  14. Группа — (англ. assemblage), коллекция предметов различных типов, найденных в закрытом комплексе друг с другом. В случае, если состав Г. повторяется, а сама она достаточно полно охватывает сферу человеческой деятельности, можно говорить о культуре, если... Археологический словарь
  15. группа — орф. группа, -ы Орфографический словарь Лопатина
  16. группа — Заимств. в XVIII в. из нем. яз., где Gruppe < франц. groupe, восходящего к итал. gruppo (с первоначальным значением «соединение»). Этимологический словарь Шанского
  17. группа — ГРУППА -ы; ж. [нем. Gruppe] 1. Несколько предметов или людей, животных, находящихся вместе, близко друг от друга. Г. строений, островов, картин. Г. всадников, бойцов. Г. дельфинов, китов. Собираться немногочисленными группами, в группы. Толковый словарь Кузнецова
  18. группа — ГРУППА I. Совокупность спортсменов, объединенных по возрасту, уровню подготовленности и др. признакам. - возрастная группа. Разделение участников соревнований на группы по возрасту (паспортному) для создания им равных условий. Словарь спортивных терминов
  19. группа — ГРУППА, ы, ж. 1. Несколько предметов или людей, животных, расположенных близко друг от друга, соединенных вместе. Г. строений. Г. всадников. Народ толпится группами. Толковый словарь Ожегова
  20. группа — ГРУППА ж. нем. чета, купа, кучка; связь, сноп, цепь; грезд, грезно; кружок, толпа. || В худож. несколько предметов, образующих одно целое, общее. || Растение Symphitum offic. свербигуз, живокость, лошаково ухо, сальный корень, крас; не сокращ. ли гарлупа?... Толковый словарь Даля
  21. группа — см. >> общество, разряд Словарь синонимов Абрамова
  22. группа — Итальянское – gruppo. Французское – groupe. В русском языке слово «группа» широко употребляется с начала XIX в. (в словаре у Яновского – с 1803 г.). Слово представляет собой заимствование из французского (groupe), где известно уже в XVIII... Этимологический словарь Семёнова
  23. ГРУППА — ГРУППА (от нем. Gruppe) — понятие современной математики. Возникло из рассмотрения совокупности операций, производимых над какими-либо объектами и обладающих тем свойством... Большой энциклопедический словарь
  24. группа — ГРУППА ы, ж. groupe m., нем. Gruppe <, ит. gruppo. 1. иск. Несколько фигур (лиц, предметов), составляющих композиционно единое целое. Сл. 18. Посредине ниш в которой группа ввиде великолепной женщины стремя гениями. 1765. МАХ 102. Словарь галлицизмов русского языка
  25. группа — (иноск.) — несколько лиц, смешавшихся в кучу, изображение (художником) нескольких лиц Ср. Всего лучше (на выставке) две небольшие группы Жерома: "Тамерлан", верхом... и "Беллуарий" римский боец... только что положивший лоском, на землю, громадного льва... Фразеологический словарь Михельсона