Эйлера уравнение

Э́йлера уравнение

1) дифференциальное уравнение вида

, (*)

где a_o,..., a_n—постоянные числа; при х>0 уравнение (*) подстановкой х = et сводится к линейному дифференциальному уравнению (См. Линейные дифференциальные уравнения) с постоянными коэффициентами. Изучалось Л. Эйлером с 1740. К уравнению (*) сводится подстановкой x' = ax + b уравнение

.

2) Дифференциальное уравнение вида

,

где X (x) = a₀x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄, Y (y) = а₀у⁴+а₁у³+а₂у²+а₃у +a₄. Л. Эйлер рассматривал это уравнение в ряде работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение этого уравнения имеет вид F (х, у) = 0, где F (х, у) — симметричный многочлен четвёртой степени от х и у. Этот результат Эйлера послужил основой теории эллиптических интегралов.

3) Дифференциальное уравнение вида

'

служащее в вариационном исчислении (См. Вариационное исчисление) для разыскания экстремалей интеграла

.

Выведено Л. Эйлером в 1744.