Линейные дифференциальные уравнения

Лине́йные дифференциальные уравне́ния

Дифференциальные уравнения вида

y⁽ⁿ⁾ + p₁(x) у^(n-1) + ... + p_n(x)y = f(x), (1)

где у = y(x) — искомая функция, y⁽ⁿ⁾, у^(n-1),..., y' — её производные, a p₁(x), p₂(x),..., p_n(x) (коэффициенты) и f(x) (свободный член) — заданные функции (см. Дифференциальные уравнения). В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если f(x) ≡ 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае — неоднородным. Общее решение y₀ = y₀(x) однородного Л. д. у. при условии непрерывности его коэффициентов p_k(x) выражается формулой:

y₀ = C₁y₁(x) + С₂у₂(х) + ... + C_ny_n(x),

где C₁, C₂,..., C_n — произвольные постоянные и y₁(x), у₂(х),..., y_n(x) — линейно независимые (см. Линейная зависимость) частные решения, образующие т. н. фундаментальную систему решений. Критерием линейной независимости решений служит неравенство нулю (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского (Вронскиана):

(2)

Общее решение у = у(х) неоднородного Л. д. у. (1) имеет вид:

y = y₀+Y,

где y₀ = y₀(x) — общее решение соответствующего однородного Л. д. у. и Y = Y(x) — частное решение данного неоднородного Л. д. у. Функция Y(x) может быть найдена по формуле:

,

где y_k(x) — решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного Л. д. у., и W_k(x) — алгебраическое дополнение элемента y_k^(n-1)(x) в определителе (2) Вроньского W(x).

Если коэффициенты уравнения (1) постоянны: p_k(x) = a_k (k = 1, 2, ..., n), то общее решение однородного уравнения выражается формулой:

,

где α_k ± iβ_k (k = 1, 2, ..., m; ) — корни т. н. характеристического уравнения:

λⁿ + a₁λ^n-1 + ... +a_n = 0,

n_k — кратности этих корней и C_ks, D_ks — произвольные постоянные.

Пример. Для Л. д. у. y’’’ + у = 0 характеристическое уравнение имеет вид: λ³ + 1 = 0. Его корнями являются числа:

λ₁ = -1; λ₂ = и λ₃ =

Следовательно, общее решение этого уравнения таково:

.

Системы Л. д. у. имеют вид:

(3)

(j = 1, 2, ..., n).

Общее решение однородной системы Л. д. у. [получаемой из системы (3), если все f_j(x) ≡ 0] даётся формулами:

(j = 1, 2, ..., n)

где y_j1, y_j2, ..., y_jn — линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель ∣y_jk(x)∣ ≠ 0 хотя бы в одной точке).

В случае постоянных коэффициентов p_jk(x) = a_jk частные решения однородной системы следует искать в виде:

(j = 1, 2, ..., n),

где A_js — неопределённые коэффициенты, a λ_k — корни характеристического уравнения

и m_k — кратность этих корней. Полный анализ всех возможных здесь случаев проводится с помощью теории элементарных делителей [см. Нормальная (жорданова) форма матриц (См. Нормальная форма матриц)].

Для решения Л. д. у. и систем Л. д. у. с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 20 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970.