Эйлера уравнения

Э́йлера уравнения

1) в механике — динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.

Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

I_xω̇_x + (I_z — I_y) ω_yω_z = M_x,

I_y + (I_x — I_z) ω_zω_x = M_y, (1)

I_zω̇_z + (I_y — I_x) ω_xω_y = M_z,

где I_x, I_y, I_z — моменты инерции (См. Момент инерции) тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, ω_х, ω_у, ω_z — проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, M_x, M_y, M_z — гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; ω̇_x, , ω̇_z — проекции углового ускорения.

Кинематические Э. у. дают выражения ω_х, ω_у, ω_z через Эйлеровы углы φ, ψ, θ и имеют вид

ω_x= Ψ̇sin θ sinφ + θ̇cosφ,

ω_у= Ψ̇sin θ cosφ — θ̇sinφ, (2)

ω_z= + cos θ.

Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

2) В гидромеханике — дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность ρ, проекции скоростей частиц жидкости u, υ, ω и проекции действующей объёмной силы X, У, Z рассматривать как функции координат x, у, z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:

,

,

.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить u, υ, ω, р, ρ, как функции х, у, z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера

.

В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния ρ = φ (р) (или ρ — const, когда жидкость несжимаема).

Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.

Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.

С. М. Тарг.