Шаровые функции

Шаровы́е функции

Однородные функции u_n степени п от прямоугольных координат х, у, z, удовлетворяющие уравнению Лапласа:

Существуют 2n + 1 линейно-независимых однородных многочленов от х, у, z целой положительной степени n, являющихся Ш. ф.: их линейная комбинация представляет общий вид такого многочлена степени n. Так, например,

u_o= a, u₁ = ax + by + cz;

u₂ = a (x² — z²) + b (y² — z²) + cxy + dyz + ezx,

где a, b, с, d, e — произвольные постоянные, представляют общий вид однородных многочленов степеней 0, 1, 2, являющихся Ш. ф. Если вместо прямоугольных координат х, у, z ввести Сферические координаты r, θ, φ, то Ш. ф. выражаются через Сферические функции Y_п (θ,φ) по формуле

u_n = rⁿ Y_n (θ,φ).

Каждой Ш. ф. u_n степени n соответствует Ш. ф. r ^―2n―1 степени — n—1.

Ш. ф. применяются при нахождении общего решения уравнения Лапласа и при решении задач математической физики для областей, ограниченных сферическими поверхностями.

Лит. см. при статье Сферические функции.