Шаровые функции

Представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C. Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II).

Введем обозначения: МС=R, СО=ρ, МО=r, угол МСО=ω.

Из треугольника MCO следует, что

Это выражение можно представить:

(в случае I) или

(в случае II).

Полагая cosω = x, R/ρ или ρ/R равным α, получим, что r выражается в обоих случаях через

, где α < 1.

Во многих вопросах математической физики приходится 1/r разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функции по степеням α. Выполнив это разложение, получим:

где P₀ = 1, P₁ = x, P₂ = ³/₂x²-¹/₂, P₃ = ⁵/₂x³-³/₂x,... P_n =

Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.

При помощи строки Лагранжа доказывается, что Р_n(x) есть n-ая производная целой функции:

(x²-1)ⁿ/1∙2∙3∙...n∙2ⁿ.

Уравнение Р_n(x) = 0 имеет все корни вещественные, лежащие между -1 и +1.

Функция Р_n(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению:

(1-x²)y"-2xy' + n(n + 1)y = 0.

Между тремя последовательными функциями P_n, P_n-1 и P_n-2 имеет место соотношение:

nP_n - (2n-1)xP_n-1 + (n-1)P_n-2 = 0.

Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р. G. Lejeune-Dirichlet, "Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte" (изд. доктора F. Grube'a, Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, "Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen" (2 т., Б., 1878, 1881).

Д. С.