Цилиндрические функции

Цилиндри́ческие функции

Весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций (См. Трансцендентные функции), являющихся решениями дифференциального уравнения:

(1)

где ν — произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид:

[где Г (z) — Гамма-функция; ряд справа сходится при всех значениях х], называется Ц. ф. первого рода порядка ν. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет вид:

Если ν — целое отрицательное: ν = — n, то J_ν(x) определяется так:

J_-n (x) = (— 1) ⁿ J_n (x).

Ц. ф. порядка ν = m + ¹/₂, где m — целое число, сводится к элементарным функциям, например:

,

Функции J_ν(x) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя (См. Бессель) (Бесселя функции, Бесселя уравнение). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли, посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка ¹/₃ в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу (1703).

Если ν не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид

y = C₁J_ν(x) + C₂J_-ν(x), (2)

где C₁ и C₂ — постоянные. Если же ν — целое, то J_ν(x) и J_-ν(x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):

При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде

у = C₁J_ν(x) + C₂Y_ν(x)

(как при целом, так и при нецелом ν).

В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента

и

(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению

общее решение которого имеет вид

y = C₁l_ν(x) + C₂K_ν(x)

(как при целом, так и нецелом ν). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)

,

а также функции Томсона ber (х) и bei (x), определяемые соотношением

ber (x) + i bei (x) = I₀(x ).

Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента:

,

,

,

,

из которых, в частности, вытекает, что Ц. ф. J_ν(x) и Y_ν(x) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно,

и

Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1—2, М., 1949; Бейтмен Г., Эрдей А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974.