Цилиндрические Функции

Бесселевы функции,- решения Zv дифференциального уравнения Бесселя где v — произвольное действительное или комплексное число (см. Бесселя уравнение). произвольного порядка. Если vне является целым числом, то общее решение урарнения (1) имеет вид где с 1 и с 2 — постоянные, a Jv и J-v- т. н. Ц. ф. 1-го рода, или Бесселя функции. Для них справедливо разложение Ряд в правой части для сходится абсолютно и равномерно при всех где Rи N — произвольные положительные числа. Функции и -аналитические, с особыми точками z = 0 и производные и удовлетворяют следующему тождеству: Если же v — целое, то и линейно зависимы, и их линейная комбинация уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. 1-го рода, вводят Ц. ф. 2-го рода Nv (z) (или Неймана Функции, функции Вeбора): (другое обозначение Yv(z)). При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде Важны для приложений и другие решения уравне ния (1) — Ц. ф. 3-го рода (или Ганкеля функции). Их обозначают через и и, по определению, полагают Справедливы тождества и соотношения Для действительных z = x и ш функции Ганкеля являются комплексно сопряженными решениями уравнения (1). При этом функции Jv(z)дают действительную часть, а функции Nv(x). мнимую часть функций Ганкеля. Ц. ф. 1-го, 2-го и 3-го рода Zv удовлетворяют рекуррентным формулам Каждая пара функций образует (при нецелом v) фундаментальную систему решений уравнения (1). Модифицированными Ц. ф. наз. Ц. ф. мнимого аргумента и Мaкдoналъда функции: Эти функции являются решениями дифференциального уравнения и удовлетворяют рекуррентным формулам целых и полуцелых порядков. Если v=n — целое число, то Jn(z) можно определить с помощью формулы Якоби — Ангера или Справедливы равенства Функция Jn(z)есть целая трансцендентная функция аргумента z;для алгебраического z = a, Jn(z) есть трансцендентное число и при В качестве второго линейно независимого с Jn(z) решения уравнения (1) обычно берут функцию где с=0,577215...- постоянная Эйлера. Если в одной из конечных сумм верхний индекс суммирования меньше нижнего, то соответствующая сумма получает значение 0. Справедливо равенство Y-n(z)=(-1)nYn(z). Ц. ф. тогда и только тогда превращаются в элементарные функции, когда индекс v принимает значение v=n+1/2, n=0,1,2,... (сферические функции Бесселя, или Ц. ф. полуцелого порядка). Справедливы формулы (n=0, 1, 2, ...): в частности в частности Интегральные представления цилиндрических функций. Для v=n=0,1,2,... имеется интегральное представление Бесселя и Для и R(z) > 0 имеется интегральное представление Пуассона и Кроме этих представлений, существует много других интегральных представлений, в частности в виде контурных интегралов (см. [2], [4], [5]). Асимптотическое поведение цилиндрических функций. Для справедливо Для действительных z=x имеют место Для имеют место следующие оценки Для п = 0, 1, 2, ... , ряды (9) и (10) обрываются. Функции Ганкеля являются единственными Ц. ф., к-рые стремятся к нулю для комплексных значений переменного . при (и в этом их особое значение для приложений): Для больших значений |z| и |v| применимы асимптотич. ряды специальных типов (см. [1], [2], [3], [5]). Нули цилиндрических функций. Нули, произвольной Ц. ф. являются простыми нулями за исключением z = 0. Если а, b, v — действительные, то между двумя действительными нулями Jn(z) лежит один действительный нуль аJn(z)+bNv(z). При действительном v Jn(z) имеет бесконечно много действительных нулей; для v>-1 все нули Jv(z) действительны; если 0<jv, 1 < jv,2 < ....-положительные нули Jn(z), то 0 < jv, 1 < jv+1, 1 < jv, 2 < jv+1,21 < jv, 3 < ...... Для v>0 справедливо jv,1>0 ; также для наименьшего положительного нуля функции J'v(z) имеет место j'v, 1> 0. Пары функций (z), п = 0, 1, 2, ..., т=1, 2, 3, ..., не имеют, кроме z = 0, общих нулей. Если то Jv(z)имеет ровно 4n + 2 комплексных нулей, из к-рых два — чисто мнимые; если n=1, 2, 3, . . ., то Jv(z)имеет ровно 4n комплексных нулей с отличной от нуля действительной частью. Теоремы сложения и разложения в ряды по цилиндрическим функциям. Справедливы следующие теоремы сложения: где — ультрасферические многочлены. При разложении Ц. ф. используются Ломмеля многочлены, Неймана ряды, Фурье-Бесселя ряды, Дирихле ряды. С Ц. ф. связаны Ангера функция, Струве функции, Ломмеля функции, Кельвина функции, Эйри функции. Ц. ф. можно определить как предельные значения сферич. функций следующим образом: При этом асимптотич. представления сферич. функций связаны с Ц. ф., и наоборот, как, напр., в формуле Xильба: и в разложениях Макдональда, Ватсона, Трикоми и др. (см. [1], [2], [4]). Вычисление значений Ц. ф. на ЭВМ. Дли вычислений значений функций J0(x), J1(x), N0(x), N1(x), I0(x), I1(x), K0(x), K1(x) удобны аппроксимации многочленами и рациональными функциями (см. [5]). О разложениях по многочленам Чебышена см. [6]. Для вычисления функций больших целых порядков, особенно на ЭВМ, применяются рекуррентные соотношения (5) -(7) (см. [5]). Сведения об имеющихся таблицах Ц. ф. приводятся в [7], [8], [9]. Лит.:[1] Ватсон Дж. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1, М., 1949; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А.,Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1974; [3] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963; [4] Градштеейн И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Г