Фурье коэффициенты

Фурье́ коэффицие́нты

Коэффициенты

(*)

разложения функции f (x), имеющей период 2T, в ряд Фурье (см. Фурье ряд). Формулы (*) называют формулами Эйлера — Фурье. Непрерывная функция f (x) однозначно определяется своими коэффициентами Фурье. Ф. к. интегрируемой функции f (x) стремятся к нулю при n → ∞, причём скорость их убывания зависит от дифференциальных свойств функции f (x). Например, если f (x) имеет k непрерывных производных, то существует такое число с, что |a_n| ≤ c/n^k, |b_n| ≤ c/n^k. Ф. к. связаны с f (x) также следующим неравенством:

(см. Парсеваля равенство). Ф. к. функции f (x) по любой нормированной ортогональной на отрезке [а, b] системе функций φ₁(x), φ₂(x),..., φ_n (x),... (см. Ортогональная система функций) равны

.