Фурье метод

Фурье́ ме́тод

Метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским (См. Остроградский) в 1828. Решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным однородным и краевым условиям, ищется по Ф. м. как суперпозиция решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием собственных функций (См. Собственные функции) и собственных значений (См. Собственные значения) некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по найденным собственным функциям. В частности, разложение функций в ряды и интегралы Фурье (см. Фурье ряд, Фурье интеграл) связано с применением Ф. м. для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Например, изучение малых колебаний струны длины l, имеющей закрепленные концы, сводиться к решению уравнения при краевых условиях u (0, t) = u (l, t) = 0 и начальных условиях u (x,0) = f (x); u'_t (x, 0) = F (x); 0 ≤ x ≤ l. Решения этого уравнения, имеющие вид X (x) T (t) и удовлетворяющие краевым условиям, выражаются формулой:

.

Выбирая соответствующим образом коэффициенты A_n и B_n, можно добиться того, что функция

будет решением поставленной задачи.

Ряд важных проблем, связанных с применением Ф. м., был решен В. А. Стекловым.