Формальная арифметика

Форма́льная арифметика

Формулировка арифметики в виде формальной (аксиоматической) системы (см. Аксиоматический метод). Язык Ф. а. содержит константу 0, числовые переменные, символ равенства, функциональные символы +, •, ' (прибавление 1) и логические связки (см. Логические операции). Постулатами Ф. а. являются аксиомы (См. Аксиома) и правила вывода (См. Правило вывода) исчисления предикатов (классического или интуиционистского в зависимости от того, какая Ф. а. рассматривается), определяющие равенства для арифметических операций:

а + 0 = а, а + b’ = (а + b),

а •0 = 0, а •b’ = (а•b) + а,

аксиомы Пеано:

⌉(а’ = 0), a’= b’ → а = b,

(a = b & а = с) → b = с, а = b →a' = b'

и схема аксиом индукции:

А (0) & ∀x (А (х) → А (x')) → ∀xa (x).

Средства Ф. а. достаточны для вывода теорем элементарной теории чисел. В настоящее время, по-видимому, неизвестно ни одной содержательной теоретико-числовой теоремы, доказанной без привлечения средств анализа, которая не была бы выводима в Ф. а. В Ф. а. изобразимы Рекурсивные функции и доказуемы их определяющие равенства. Это позволяет, в частности, формулировать суждения о конечных множествах. Более того, Ф. а. эквивалентна аксиоматической теории множеств (См. Аксиоматическая теория множеств) Цермело – Френкеля без аксиомы бесконечности: в каждой из этих систем может быть построена модель другой.

Ф. а. удовлетворяет условиям обеих теорем Гёделя о неполноте. В частности, имеются такие полиномы Р, Q от 9 переменных, что формула ∀x₁... ∀x₉ (P ≠ Q) невыводима, хотя и выражает истинное суждение, а именно непротиворечивость Ф. а. Поэтому неразрешимость диофантова уравнения Р — Q = 0 недоказуема в Ф. а. Непротиворечивость Ф. а. доказана с помощью трасфинитной индукции до ординала ε₀ (наименьшее решение уравнения ω^ε = ε). Поэтому схема индукции до ε₀ недоказуема в Ф. а., хотя там доказуема схема индукции до любого ординала α < ε₀. Класс доказуемо рекурсивных функций Ф. а. (т. е. частично рекурсивных функций, общерекурсивность которых может быть установлена средствами Ф. а.) совпадает с классом ординально рекурсивных функций с ординалами < ε₀.

Не все теоретико-числовые предикаты выразимы в Ф. а.: примером является такой предикат T, что для любой замкнутой арифметической формулы А имеет место Т (⌈А⌉) ↔ А, где ⌈А⌉ – номер формулы А в некоторой фиксированной нумерации, удовлетворяющей естественным условиям. Присоединение к Ф. а. символа Т с аксиомами типа

Т (⌈А & B⌉) ↔ Т (⌈А⌉) & Т (⌈B⌉),

выражающими его перестановочность с логическими связками, позволяет доказать непротиворечивость Ф. а. Похожая конструкция (но уже внутри Ф. а.) доказывает, что схему индукции нельзя заменить никаким конечным множеством аксиом. Ф. а. корректна и полна относительно формул вида ∃x₁... ∃x_k (P = Q); замкнутая формула из этого класса доказуема тогда и только тогда, когда она истинна. Так как этот класс содержит алгоритмически неразрешимый предикат, отсюда следует, что проблема выводимости в Ф. а. алгоритмически неразрешима.

При задании Ф. а. в виде генценовской системы осуществима нормализация выводов, причём нормальный вывод числового равенства состоит только из числовых равенств. На этом пути было получено первое доказательство непротиворечивости Ф. а. Нормальный вывод формулы с кванторами может содержать сколь угодно сложные формулы. Полная подформульность достигается после замены схемы индукции на со-правило, позволяющее вывести В → ∀xA (x) из В → A (0), B → A (1),... Понятие ω-вывода (т. е. вывода с ω-правилом) высоты < ε₀ выразимо в Ф. а., поэтому переход к ω-выводам позволяет устанавливать в Ф. а. многие метаматематические теоремы, в частности полноту относительно формул вида ∃x₁... ∃x_k (P = Q) и ординальную характеристику доказуемо рекурсивных функций.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, 2 Aufl., Bd 1–2, В., 1968–70.

Г. Е. Минц.