Логические операции

Логи́ческие операции

Логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов (См. Логика предикатов), содержащие переменные (См. Переменная) и обращающиеся в высказывания при замене последних какими-либо конкретными их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Л. о. можно разделить на две основные группы: Кванторы и пропозициональные (сентенциональные) связки. Кванторы играют для формализованных языков математической логики ту же роль, которую играют для естественного языка т. н. «количественные» («кванторные») слова: «все», «любой», «некоторый», «существует», «единственный», «не более (менее) чем», количественные числительные и т. п. Характерной особенностью кванторов является — в случае нефиктивного их применения — понижение числа свободных переменных в преобразуемом выражении: применение квантора к выражению, содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению, содержащему n — 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной) преобразует в высказывание.

Пропозициональные связки (в отличие от кванторов, введение которых знаменует переход к логике предикатов) употребляются уже в самой элементарной части логики — в логике высказываний (См. Логика высказываний). В формализованных логических и логико-математических языках они выполняют функции, вполне аналогичные функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений в естественных языках. Так, отрицание ⌉ истолковывается как частица «не», конъюнкция & истолковывается как союз «и», дизъюнкция ﹀ — как (неразделительное) «или», импликация ⊃ — как оборот «если..., то...», эквиваленция ~ — как оборот «тогда и только тогда, когда» и т. п. При этом, однако, соответствие между Л. о. и средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно. Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь два «истинностных значения»: «истину» («и») и «ложь» («л»), так что пропозициональные Л. о. можно рассматривать как различные функции, отображающие некоторую область из двух элементов в себя; поэтому число различных n-местных (т. е. от n аргументов) Л. о. определяется из чисто комбинаторных соображений — оно равно 2ⁿ. Во-вторых, в формализованных языках математической логики игнорируются любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме тех, что непосредственно определяют истинностное значение получающегося сложного предложения. В свою очередь, в качестве Л. о. рассматриваются подчас и такие связки, содержательные аналоги которых в обычном языке, как правило, не имеют специальных наименований; таков, например, «штрих Шеффера» ∣ в нижеследующей таблице, где приведён полный перечень всех двуместных пропозициональных Л. о. (в первых двух столбцах помещены истинностные значения некоторых «исходных» высказываний р и q, в остальных — значения высказываний, образуемых из них посредством указанных сверху Л. о.).

	Тождественная истина	Тождественная ложь	P	Отррицание p	q	Отрицание q	Конъюнкция	Антиконъюнкция (штрих Шеффера)	Дизъюнкция	Антидизъюнкция	Эквиваленция	Антиэквиваленция	Импликация	Антиимпликация	Обратная импликация	Обратная антиимпликация
p	q	и	л	p	⌉ p	q	⌉ q	p&q	P)q	p∨q	p q	p~q	p q	p⊃q	p q	p⊂q	p⊄q
и	и	и	л	и	л	и	л	и	л	и	л	и	л	и	л	и	л
и	л	и	л	и	л	л	и	л	и	и	л	л	и	л	и	и	л
л	и	и	л	л	и	и	л	л	и	и	л	л	и	и	л	л	и
л	л	и	л	л	и	л	и	л	и	л	и	и	л	и	л	и	л

Поскольку в таблице сведены все мыслимые двуместные Л. о., соответствующие всевозможным «четырехбуквенным словам» из «и» и «л», записанным по вертикали в её столбцах, то естественно, что среди этих 17 Л. о. есть и «вырожденные» случаи: первые две «связки» вообще не зависят ни от каких «аргументов» — это константы «и» и «л» (понятно, что таких «нульместных» связок имеется ровно ), далее идут «одноместных связок» (каждая из которых зависит лишь от одного из аргументов р или q) и только затем уже 16—2—4 = 10 собственно двуместных Л. о. Можно далее рассматривать трёхместных Л. о. и т. д.; оказывается, однако, что уже небольшой части приведённых Л. о. достаточно для того, чтобы посредством их суперпозиций (т. е. последовательного применения) выразить любые n-местные Л. о. для любого натурального n. Такими функционально полными наборами связок являются, например, ⌉ и &, ⌉ и ﹀, ⌉ и ⊃ и даже одна-единственная связка ∣. Поскольку логика высказываний может быть изоморфно (см. Изоморфизм) интерпретирована в терминах логики классов (См. Логика классов), для каждой Л. о. имеется аналогичная теоретико-множественная операция; совокупность таких операций над множествами (классами) образует т. н. алгебру множеств. См. Алгебра логики.

Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, §§ 05, 06 и 15.

Ю. А. Гастев.