Уравнение

Уравне́ние

В математике, аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, – решениями (корнями); о таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному У. Например, 3x – 6 = 0 является У. с одним неизвестным, а х = 2 есть его решение; x² + y² = 25 является У. с двумя неизвестными, а х = 3, y = 4 есть одно из его решений. Совокупность решений данного У. зависит от области М значений, допускаемых для неизвестных. У. может не иметь решений в М, тогда оно называется неразрешимым в области М. Если У. разрешимо, то оно может иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений. Например, У. x⁴ – 4 = 0 неразрешимо в области рациональных чисел, но имеет два решения:

x₁ = √2, x₂ = –√2 в области действительных чисел и четыре решения: x₁ = √2, x₂ = –√2, x₃ = i , x₄ = – в области комплексных чисел. У. sinx = 0 имеет бесконечное множество решений: x_k = kπ (k = 0, ± 1, ± 2,...) в области действительных чисел. Если У. имеет решениями все числа области М, то оно называется тождеством в области М. Например, У. х = является тождеством в области неотрицательных чисел и не является тождеством в области действительных чисел.

Совокупность У., для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем этим У., называется системой У.; значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем У. системы, – решениями системы. Например, х + 2y = 5, 2x + у – z = 1 является системой двух У. с тремя неизвестными; одним из решений этой системы является х = 1, у = 2, z = 3.

Две системы У. (или два У.) называются равносильными, если каждое решение одной системы (одного У.) является решением др. системы (другого У.), и наоборот, причём обе системы (оба У.) рассматриваются в одной и той же области (см. Равносильные уравнения). Например, У. х – 4 = 0 и 2x – 8 = 0 равносильны, т.к. решением обоих У. является лишь х = 4. Всякая система У. равносильна системе вида f_k (x₁, x₂,..., х_п) = 0, где k = 1, 2,... Процесс разыскания решений У. заключается обычно в замене У. равносильным. В некоторых случаях приходится заменять данное У. другим, для которого совокупность решений шире, чем у данного У. Решения нового У., не являющиеся решениями данного У., называются посторонними решениями (см. Посторонний корень).

Например, возводя в квадрат У. , получают У. x — 3 = 4, решение которого х = 7 является посторонним для исходного У. Поэтому, если при решении У. делались действия, могущие привести к появлению посторонних решений (например, возведение У. в квадрат), то все полученные решения преобразованного У. проверяют подстановкой в исходное У.

Наиболее изучены У., для которых функции f_k являются многочленами от переменных x₁, x₂,..., х_п, – алгебраические У. Например, алгебраическое У. с одним неизвестным имеет вид:

a₀xⁿ + a₁x^n-1 +... + a_n = 0 (a₀ ≠ 0); (*)

число n называется степенью У. Решение алгебраич. У. было одной из важнейших задач алгебры в 16–17 вв., когда были получены формулы и методы решения алгебраических У. 3-й и 4-й степеней (см. Алгебра, Кардано формула) (правила решения алгебраических У. 1-й и 2-й степеней были известны ещё в глубокой древности). Для корней У. 5-й и высших степеней общей формулы не существует, поскольку эти У., вообще говоря, не могут быть решены в радикалах (Н. Абель, 1824). Вопрос о разрешимости алгебраических У. в радикалах привёл (около 1830) Э. Галуа к общей теории алгебраических У. (см. Галуа теория).

Каждое алгебраическое У. всегда имеет хотя бы одно решение, действительное или комплексное. Это составляет содержание т. н. основной теоремы алгебры, строгое доказательство которой впервые было дано К. Гауссом в 1799. Если α – решение У. (*), то многочлен a₀xⁿ + a₁x^n-1 +... + a_n делится на х – α. Если он делится на (х – α) ^k, но не делится на (х – α) ^k+1, то решение α имеет кратность k. Число всех решений У. (*), если каждое считать столько раз, какова его кратность, равно n.

Если f (x) – трансцендентная функция (См. Трансцендентные функции), то У. f (x) = 0 называются трансцендентным (см., например, Кеплера уравнение), причём в зависимости от вида f (x) оно называется тригонометрическим У., логарифмическим У., показательным У. Рассматриваются также иррациональные У., то есть У., содержащие неизвестное под знаком радикала. При практическом решении У. обычно применяются различные приближённые методы решения У.

Среди систем У. простейшими являются системы линейных У., то есть У., в которых f_k суть многочлены первых степеней относительно x₁, x₂,..., х_п (см. Линейное уравнение).

Решение системы У. (не обязательно линейных) сводится, вообще говоря, к решению одного У. при помощи т. н. исключения неизвестных (см. также Результант).

В аналитической геометрии одно У. с двумя неизвестными интерпретируется при помощи кривой на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют данному У. Одно У. с тремя неизвестными интерпретируется при помощи поверхности в трёхмерном пространстве. При этой интерпретации решение системы У. совпадает с задачей о разыскании точек пересечения линий, поверхностей и т.д. У. с большим числом неизвестных интерпретируются при помощи многообразий в n-мерных пространствах.

В теории чисел рассматриваются неопределенные У., то есть У. с несколькими неизвестными, для которых ищутся целые или же рациональные решения (см. Диофантовы уравнения). Например, целые решения У. x² + y² = z² вид х = m²-n², у = 2 mn, z = m² + n² где m и n – целые числа.

С наиболее общей точки зрения, У. является записью задачи о разыскании таких элементов некоторого множества А, что F (a) = Ф (а), где F и Ф – заданные отображения (См. Отображение) множества А в множество В. Если множества А и В являются множествами чисел, то возникают У. рассмотренного выше вида. Если А и В – множества точек в многомерных пространствах, то получаются системы У., если же A и В – множества функций, то в зависимости от характера отображения могут получаться также Дифференциальные уравнения, Интегральные уравнения и др. виды У. Наряду с вопросами нахождения решения У. в общей теории У. различного вида изучаются вопросы существования и единственности решения, непрерывной зависимости его от тех или иных данных и т.д.

Термин «У.» употребляется (в отличном от указанного выше смысле) и в др. естественных науках, см., например, Уравнение времени (в астрономии), Уравнение состояния (в физике), Уравнения химические, Максвелла уравнения в электродинамике, Кинетическое уравнение Больцмана в теории газов.