Тензорное исчисление

Те́нзорное исчисле́ние

Математическая теория, изучающая величины особого рода — тензоры, их свойства и правила действий над ними. Т. и. является развитием и обобщением векторного исчисления (См. Векторное исчисление) и теории матриц (См. Матрица). Т. и. широко применяется в дифференциальной геометрии, теории римановых пространств, теории относительности, механике, электродинамике и других областях науки.

Для описания многих физических и геометрических фактов обычно вводится та или иная система координат, что позволяет описывать различные объекты при помощи одного или нескольких чисел, а соотношения между объектами — равенствами, связывающими эти числа или системы чисел. Некоторые из величин, называемые скалярными (масса, температура и т. д.), описываются одним числом, причём значение этих величин не изменяется при переходе от одной системы координат к другой (мы рассматриваем здесь физические явления с точки зрения классической физики). Другие величины — векторные (сила, скорость и т. д.), описываются тремя числами (компонентами вектора), причём при переходе от одной системы координат к другой компоненты вектора преобразуются по определённому закону. Наряду со скалярными и векторными величинами встречаются во многих вопросах физики и геометрии величины более сложного строения. Эти величины, называемые тензорными, описываются в каждой системе координат несколькими числами (компонентами тензора), причём закон преобразования этих чисел при переходе от одной системы координат к другой более сложен, чем для векторов (точные определения будут даны ниже). При введении координатной системы, помимо чисел, описывающих сам объект или физическое явление, появляются числа, описывающие его связь с выбранной системой координат. Рассмотрим, например, совокупность чисел Jij (i, j = 1, 2, 3), где Jij — осевой Момент инерции твёрдого тела относительно оси Xi, a Jij, (при ij) центробежные моменты инерции, взятые с обратным знаком. При переходе от одной системы координат к другой осевой момент инерции Jii меняется (так как меняется положение оси xi относительно тела), а потому Jii не может рассматриваться как физическая величина, имеющая независимый от выбора системы координат смысл. Это находит своё выражение, например, в том, что знание Jii в одной системе координат не позволяет найти Jii в другой системе координат. В то же время совокупность всех чисел Jij имеет смысл, независимый от выбора координатной системы. Знание всех чисел Jij в одной системе прямоугольных координат позволяет найти их в любой другой системе прямоугольных координат по формуле Тензорное исчисление ( Тензорное исчисление. Рис. 2 и Тензорное исчисление. Рис. 3 — некоторые числа): здесь, как принято в Т. и., опущен знак суммы и считается, что если один и тот же индекс встречается дважды (один раз наверху, а другой раз внизу), то по нему производится суммирование, причём этот индекс принимает все возможные для него значения (в приведённом примере — значения 1, 2, 3). Т. и., как и векторное исчисление, является математическим аппаратом, при котором исключается влияние выбора координатной системы. Это достигается тем, что задание компонент тензора в какой-либо системе координат определяет их во всех других системах координат. В Т. и. указываются методы получения соотношений между тензорами и функций от компонент тензоров, не меняющихся при переходе от одной системы координат к другой (инвариантных соотношений и инвариантов).

Т. о., одной из основных задач Т. и. является нахождение аналитических формулировок законов механики, геометрии, физики, не зависящих от выбора координатной системы.

1. Тензоры в прямоугольных координатах. Величины, которые в каждой системе прямоугольных координат задаются в 3-мерном пространстве 3k числами Тензорное исчисление. Рис. 4 (ir = 1, 2, 3) и при замене системы координат (x1, x2, x3) системой (x’1, x’2, x’3) заменяются числами Тензорное исчисление. Рис. 5 по формулам:

Тензорное исчисление. Рис. 6

, (1)

где Тензорное исчисление. Рис. 7 , называются тензорными величинами, а определяющие их системы чисел — тензорами в прямоугольных координатах (иногда тензорами называют также и сами тензорные величины). Число k называется валентностью (рангом) тензора, числа Тензорное исчисление. Рис. 8 — его компонентам и (координатами). Аналогичным образом определяются тензоры в пространстве любого числа измерений.

Примеры тензоров: если координаты вектора а обозначить ai (i = 1, 2, 3), то числа а, образуют тензор первой валентности. Любым двум векторам а = {ai} и b ={bi} соответствует тензор с компонентами pij = ai. bj. Этот тензор называется диадой. Если a (x1, x2, x3) некоторое Векторное поле, то каждой точке этого поля соответствует тензор с компонентами Тензорное исчисление. Рис. 9 . Он называется производной вектора а = {ai} по вектору r {x1, x2, хз} (обозначается также через Тензорное исчисление. Рис. 10 ). Упомянутая выше совокупность чисел Jij образует тензор второй валентности (тензор инерции).

2. Тензоры второй валентности. В приложениях Т. и. к механике, кроме тензоров первой валентности (векторов), чаще всего встречаются тензоры второй валентности.

Если pij = pji, то тензор называется симметрическим, а если pij = –pji, то — кососимметрическим (антисимметрическим). Симметрический тензор имеет шесть существенных компонент, а кососимметрический — три: Тензорное исчисление. Рис. 11 ; Тензорное исчисление. Рис. 12 ; Тензорное исчисление. Рис. 13 Тензорное исчисление. Рис. 14 . При этом компоненты ω1, ω2, ω3 преобразуются как компоненты псевдовектора (см. Осевой вектор). Вообще псевдовекторы (угловую скорость, векторное произведение двух векторов и др.) можно рассматривать как кососимметрические тензоры второй валентности. Далее, если в любой системе координат принять Тензорное исчисление. Рис. 15 , Тензорное исчисление. Рис. 16 , Тензорное исчисление. Рис. 17 , то получится тензор, называемый единичным тензором. Компоненты этого тензора обозначаются при помощи Кронекера символа δij. Тензоры инерции, напряжения, единичный тензор — симметрические. Всякий тензор единственным образом разлагается на сумму симметрических и кососимметрических тензоров. Если а (r) — вектор смещения частиц упругого тела при малой деформации, то симметрическая часть Тензорное исчисление. Рис. 18 называется тензором деформации; кососимметрическая часть Тензорное исчисление. Рис. 19 соответствует псевдовектору Тензорное исчисление. Рис. 20 (см. Вихрь векторного поля).

Тензор Тензорное исчисление. Рис. 21 является симметрическим только в том случае, когда поле а (r) потенциально (см. Потенциальное поле). Разложение тензора Тензорное исчисление. Рис. 22 на симметрические и кососимметрические части соответствует разложению относительного смещения da на чистую деформацию и на поворот тела как целого.

Инвариантами тензора называются функции от его компонент, не зависящие от выбора координатной системы. Примером инварианта является след тензора p11 + p22 + p33. Так, для тензора инерции он равен удвоенному полярному моменту инерции относительно начала координат, для тензора Тензорное исчисление. Рис. 23 — дивергенции (См. Дивергенция) векторного поля a (r) и т. д

3. Тензоры в аффинных координатах. Для многих задач приходится рассматривать тензорные величины в аффинных координатах (косоугольных координатах с различными единицами длины по разным осям). Положение одной аффинной системы координат относительно другой может быть описано двумя различными системами чисел: числами Aij равными компонентам векторов eij. нового базиса относительно векторов ei старого базиса, и числами Bij, равными компонентам векторов ei относительно базиса eij. В соответствии с этим бывают тензоры различного вида: в законы преобразования одних из них входят числа Aij, а в законы преобразования других — числа Bij. Встречаются и тензоры, в законы преобразования которых входят как числа Aij, так и числа Bij. Тензоры первого вида называются ковариантными, второго — контравариантными и третьего — смешанными тензорами. Более точно, (r + х)-валентным смешанным тензором s раз ковариантным и r раз контравариантным. называют совокупность 3r+s чисел Тензорное исчисление. Рис. 24 , заданную в каждой системе аффинных координат и преобразующуюся при переходе от одной системы координат к другой по формулам:

Тензорное исчисление. Рис. 25

При рассмотрении прямоугольных координат не приходится различать ковариантные (нижние) и контравариантные (верхние) индексы тензора, так как для двух таких систем координат Тензорное исчисление. Рис. 26 .

Коэффициенты уравнения поверхности второго порядка Тензорное исчисление. Рис. 27 образуют ковариантный тензор валентности 2, а элементы Тензорное исчисление. Рис. 28 матрицы линейного преобразования — тензор, 1 раз ковариантный и 1 раз контравариантный. Система трёх чисел x1, x2, x3, преобразующихся как координаты вектора x = xiei, образует 1 раз контравариантный тензор, а система чисел, преобразующихся как скалярное произведение xi = xei, образует 1 раз ковариантный тензор. Относительно преобразования аффинных координат символ Кронекера Тензорное исчисление. Рис. 29 является смешанным тензором (поэтому, в отличие от пункта 2, здесь пишут один индекс сверху, другой — снизу). Совокупность чисел gij = eiej, где ei — векторы базиса, образует тензор, называемый ковариантным метрическим тензором. Длина любого вектора пространства х = xiei равна Тензорное исчисление. Рис. 30 , а скалярное произведение двух векторов х и у равно gijxiyj. Совокупность величин gij таких, что Тензорное исчисление. Рис. 31 , образует тензор, который называется контравариантным метрическим тензором.

Дословно, так же как и в трёхмерном пространстве, определяются тензоры в n-мерном пространстве. Важным примером тензоров в n-мерном пространстве являются совокупности компонент Поливекторов.

Порядок следования индексов существенным образом входит в определение тензора, то есть при перестановке индексов компоненты тензора, вообще говоря, меняются. Тензор называется симметрическим по данной совокупности индексов (одного и того же уровня), если при перестановке любых двух индексов этой совокупности он не меняется. Если же при такой перестановке компоненты тензора меняют знак, то он называется кососимметрическим по этой совокупности индексов. В более общем смысле условием симметрии тензора называют любую инвариантную линейную зависимость между его компонентами.

4. Действия над тензорами. Существуют четыре основные операции над тензорами: сложение тензоров, умножение тензоров, свёртывание тензоров по двум или более индексам и перестановка индексов тензора. Так как тензор задаётся своими компонентами в различных системах координат, то действия над тензорами задаются формулами, выражающими в каждой системе координат компоненты результата действия через компоненты тензоров, над которыми производятся действия. При этом формулы должны быть такими, чтобы в результате выполнения действия получился тензор.

а) Сложение тензоров. Суммой двух тензоров tabcde и qabcde одинакового строения (то есть имеющих одинаковое число верхних и нижних индексов) называется тензор с компонентами

Тензорное исчисление. Рис. 32

б) Умножение тензоров. Произведением двух тензоров tabc и Тензорное исчисление. Рис. 33 (быть может различного строения) называется тензор с компонентами Тензорное исчисление. Рис. 34 . Произведение тензоров, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей. Если один из тензоров имеет нулевую валентность (то есть является скалярной величиной λ), то умножение его на другой тензор tabc сводится к умножению всех компонент тензора tabc на число λ.

в) Свёртывание тензора. Результатом свёртывания тензора tabcde по индексам а и d (верхнему и нижнему) называется тензор Тензорное исчисление. Рис. 35 , компоненты которого равны Тензорное исчисление. Рис. 36 . (здесь производится суммирование по индексу i). Например, след матрицы pij является результатом свёртывания её по индексам i и j, бискалярное произведение Тензорное исчисление. Рис. 37 тензоров pij и Тензорное исчисление. Рис. 38 . равно результату свёртывания их произведения по всем индексам. При полном свёртывании тензора (по всем индексам) получается инвариант.

г) Перестановка индексов. Пусть компоненты тензора qabcde выражаются через компоненты тензора tabcde формулой Тензорное исчисление. Рис. 39 . Тогда говорят, что qabcde получился из tabcde перестановкой индексов с и е. При этом переставляться могут только индексы одного и того же уровня.

5. Тензорный анализ. В приложениях приходится обычно рассматривать не отдельные тензоры, а тензорные поля. Например, при изучении упругой деформации рассматривают тензоры деформации и напряжений во всех точках тела. Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то тензорное поле Т (Р) можно рассматривать как совокупность функций Тензорное исчисление. Рис. 40 , заданных в каждой точке Р (х1, x2, x3) области и преобразующихся при переходе от одной системы прямоугольных координат к другой по формулам вида (1). В этом случае частные производные компонент тензора по координатам Тензорное исчисление. Рис. 41 образуют также тензор, валентность которого на единицу выше валентности исходного тензора. Например, при дифференцировании скалярного поля получается поле градиента, при дифференцировании поля градиента — поле симметрического тензора второй валентности: Тензорное исчисление. Рис. 42 и т. д.

В тензорном анализе рассматриваются не только прямоугольные или аффинные, но и произвольные (достаточное число раз дифференцируемые) криволинейные координаты xi. В окрестности каждой точки эти координаты можно заменить аффинными координатами. В качестве базисных векторов этих аффинных координат надо взять частные производные Тензорное исчисление. Рис. 43 радиус-вектора r в точке Р.

Тогда скалярные произведения eiej, будут равны значениям компонент метрического тензора gij в точке Р, с помощью которого длина бесконечно малого вектора Тензорное исчисление. Рис. 44 , Тензорное исчисление. Рис. 45 , Тензорное исчисление. Рис. 46 выражается формулой Тензорное исчисление. Рис. 47 . Поэтому метрика в криволинейной и прямолинейной системах координат совпадает с точностью до бесконечно малых высшего порядка. Тем самым в каждой точке пространства вводится своя (локальная) система аффинных координат, относительно которой и задаются компоненты тензорного поля в этой точке. При переходе от одной системы криволинейных координат (x’,..., xn) к другой (y’,..., yn) локальная система координат в каждой точке меняется, причём базисные векторы преобразуются по формулам Тензорное исчисление. Рис. 48 . Иными словами, коэффициенты линейного преобразования Aij будут различными в разных точках и равны Тензорное исчисление. Рис. 49 ; точно так же матрица Bij состоит из выражений Тензорное исчисление. Рис. 50 . Поэтому тензорным полем относительно криволинейных координат. называют совокупность функций Тензорное исчисление. Рис. 51 , заданных в каждой точке области для системы криволинейных координат и преобразующихся при переходе от одной системы криволинейных координат к другой по формулам (2), где положено Тензорное исчисление. Рис. 52 , Тензорное исчисление. Рис. 53 . В рассматриваемом случае частные производные компонент поля по координатам xi уже не образуют тензорного поля. Это объясняется тем, что при переходе от одной точки к другой изменяются не только компоненты тензора, но и локальная координатная система, к которой этот тензор относится. Поэтому при определении изменения тензора надо учитывать не только изменение компонент тензора при переходе от точки Р (xi) к бесконечно близкой ей точке Q (x’ + dxi), но и изменение локальной координатной системы. Иными словами, компоненты приращения тензора нельзя считать равными приращениям его компонент. Например, для векторных полей u (P), где u имеет контравариантные компоненты u; приращение векторного поля равно (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) выражению Тензорное исчисление. Рис. 54 . Здесь через Тензорное исчисление. Рис. 55 обозначены так называемые символы Кристоффеля (см. Кристоффеля символ), связанные с метрическим тензором Тензорное исчисление. Рис. 56 соотношением

Тензорное исчисление. Рис. 57

.

Отметим, что сами символы Кристоффеля не являются тензорами. Слагаемое Тензорное исчисление. Рис. 58 учитывает зависимость компонент приращения тензора от приращения его компонент, а слагаемое Тензорное исчисление. Рис. 59 — зависимость компонент приращения тензора от изменения системы координат при переходе от точки к точке.

Вектор Тензорное исчисление. Рис. 60 называется ковариантным (или абсолютным) дифференциалом векторного поля u (Р), а совокупность величин

Тензорное исчисление. Рис. 61

.

— ковариантной (или абсолютной) производной этого поля. Аналогично этому ковариантная производная ковариантного векторного поля равна

Тензорное исчисление. Рис. 62

Для тензорного поля Тензорное исчисление. Рис. 63 ковариантная производная определяется формулой:

Тензорное исчисление. Рис. 64

.

Ковариантная производная тензорного поля образует тензорное поле, имеющее на одну ковариантную валентность больше, чем исходное поле. В частном случае, когда криволинейные координаты являются прямоугольными, ковариантное дифференцирование тензорных полей переходит в обычное, то есть в операцию образования поля Тензорное исчисление. Рис. 65 . В этом случае символы Кристоффеля равны нулю.

Правила ковариантного дифференцирования (для суммы и произведения тензоров) совпадают с правилами обычного дифференцирования. Ковариантное дифференцирование перестановочно со свёртыванием. Имеет место также теорема о перестановке порядка ковариантного дифференцирования, то есть Тензорное исчисление. Рис. 66 . Отметим, что ковариантная производная метрического тензора Тензорное исчисление. Рис. 67 равна нулю.

6. Историческая справка. Возникновение Т. и. было подготовлено в 19 в. развитием теории алгебраических форм, с одной стороны, и теории квадратичных дифференциальных форм — с другой. Исследования в области теории дифференциальных квадратичных форм были непосредственно связаны с дифференциальной геометрией: с геометрией поверхностей (К. Гаусс) и с геометрией многомерного метрического пространства (Б. Риман). Современную форму Т. и. придал итальянский математик Г. Риччи-Курбастро, поэтому Т. и. иногда называется исчислением Риччи. Идеи Риччи-Курбастро первоначально не получили широкого распространения. Внимание к ним возросло после появления (1915—16) общей теории относительности А. Эйнштейна, математическая часть которой целиком основана на Т. и.

Лит.: Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 9 изд., М., 1965; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Схоутен Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; Мак-Коннел А.-Д., Введение в тензорный анализ, пер. с англ., М., 1963; Сокольников И. О., Тензорный анализ, пер. с англ., М., 1971.

По материалам одноимённой статьи из 2-го изд. БСЭ.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. Тензорное Исчисление — Традиционное название раздела математики, изучающего тензоры и тензорные поля (см. Тензорное расслоение). Т. и. разделяется на тензорную алгебру (входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру )и тензорный анализ... Математическая энциклопедия
  2. ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — математическая теория, обобщающая векторное исчисление и матричную алгебру. В тензорном исчислении изучаются величины особого рода — тензоры, которые описываются в каждой системе координат несколькими числами... Большой энциклопедический словарь