Спирали

Спира́ли

(франц., единственное число spirale, от лат. spira, греч. speira — виток)

плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс полярной системы координат, то полярное уравнение С. ρ = f(φ) таково, что f(φ + 2π) > f(φ) или f(φ + 2π) < f(φ) при всех φ. В частности, С. получаются, если f(φ) — монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. Наиболее простой вид имеет уравнение архимедовой С. (см. рис.): ρ = аφ, изученной древнегреческим математиком Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга в сочинении «О спиралях». Архимед нашёл площадь сектора этой С., что было одним из первых примеров квадратуры криволинейной области. Архимедова С. является подерой (см. Подера и антиподера) эвольвенты круга (см. Эволюта и эвольвента), что используется в некоторых конструкциях разводных мостов для уравновешивания переменного натяжения цепи. Если эксцентрик ограничен дугами архимедовой С. (сердцевидный эксцентрик), то он преобразует равномерное вращательное движение в равномерное поступательное, причём расстояние между диаметрально противоположными точками эксцентрика постоянно. Французский математик П. Ферма исследовал обобщённые архимедовы С. (ρ/a)n = (φ/2π)m и нашёл площадь их сектора.

Уравнение ρ = аекφ задаёт логарифмическую С. (см. рис.). Логарифмическая С. пересекает под одним и тем же углом а все радиус-векторы, проведённые из полюса, причём ctgα = k. Это свойство логарифмической С. используется при проектировании вращающихся ножей, фрез и т. д. для достижения постоянства угла резания. Логарифмическая С. встречается также в теории спиральных приводов к гидравлическим турбинам и т. д. В теории зубчатых колёс используется возможность качения без скольжения одной логарифмической С. по другой, равной с ней, когда обе С. вращаются вокруг своих полюсов. При этом получаются зубчатые передачи с переменным передаточным числом. При стереографической проекции (См. Стереографическая проекция) плоскости на сферу логарифмической С. переходит в локсодромию (кривую, пересекающую все меридианы под одним и тем же углом). Определение длин дуг логарифмической С. дано итал. учёным Э. Торричелли. Длина дуги логарифмической С. пропорциональна разности длин радиус-векторов, проведённых в концы дуги, точнее равна Спирали . Швейц. учёный Я. Бернулли показал, что эволюта и каустика (см. Каустическая поверхность) логарифмической С. являются логарифмическими С. При вращении вокруг полюса логарифмической С. получается кривая, гомотетичная (см. Гомотетия) исходной. При инверсии (См. Инверсия) логарифмическая С. переходит в логарифмическую С.

Из других С. практическое значение имеет Корню С. (или клотоида), применяемая при графическом решении некоторых задач дифракции (см. рис.). Параметрическое уравнение этой С. имеет вид:

, Спирали. Рис. 2 .

Корню С. является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути, так как её радиус кривизны возрастает пропорционально длине дуги. С. являются также эвольвенты замкнутых кривых, например эвольвента окружности.

Названия некоторым С. даны по сходству их полярных уравнений с уравнениями кривых в декартовых координатах, например параболическая С. (см. рис.): (а — ρ)2 = bφ, гиперболическая С.(см. рис.): ρ = а/φ. К С. относятся также жезл (см. рис.): ρ2 = a/φ и si-ci-cпираль, параметрические уравнения которой имеют вид:

Спирали. Рис. 3 ,

Спирали. Рис. 4

[si (t) и ci (t) — Интегральный синус и интегральный косинус]. Кривизна si-ci-cпирали изменяется с длиной дуги по закону показательной функции. Такие С. применяют в качестве профиля для лекал.

Напоминает С. кривая Спирали. Рис. 5 , называемая кохлеоидой (см. рис.). Она бесконечное множество раз проходит через полюс, причём каждый следующий завиток лежит в предыдущем.

С. встречаются также при рассмотрении особых точек в теории дифференциальных уравнений (см. Особые точки (См. Особая точка)).

С. иногда называют также пространственные кривые, делающие бесконечно много оборотов вокруг некоторой оси, например винтовая линия.

Лит. см. при ст. Линия.

Спирали. Рис. 6

Архимедова спираль.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. Спирали — Плоские кривые, к-рыс обычно обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь или удаляясь от нее. Среди С. выделяют алгебраич. С. и псевдоспирали. Математическая энциклопедия
  2. СПИРАЛИ — СПИРАЛИ (от греч. speira — виток) — кривые, закручивающиеся вокруг точки на плоскости (плоские спирали) — напр. архимедова спираль, гиперболическая спираль, логарифмическая спираль, или вокруг оси (пространственная спираль) — напр. винтовая линия. Большой энциклопедический словарь