Полиномиальное распределение

Полиномиа́льное распределение

Мультиномиальное распределение, совместное распределение вероятностей случайных величин, каждая из которых есть число появлений одного из нескольких взаимно исключающих событий при повторных независимых испытаниях. Пусть при каждом испытании вероятности появления событий A₁,..., A_m равны соответственно p₁,..., p_m, причём 0 ≤ p_k < 1, k = 1,..., m и p₁ +... + p_m = 1, тогда совместное распределение величин X₁,..., X_m, где X_k — число появлений события A_k при n испытаниях, задаётся определёнными для любого набора целых неотрицательных чисел n₁,..., n_m, удовлетворяющих единственному условию n₁ +... + n_m = n, вероятностями

(вероятность того, что при n независимых испытаниях событие A₁ появляется n₁ раз, событие A₂ появляется n₂ раз и т.д.). П. р. служит естественным обобщением биномиального распределения (См. Биномиальное распределение) и сводится к последнему при m = 2. Существенно то, что каждая случайная величина X_k имеет при этом биномиальное распределение с математическим ожиданием (См. Математическое ожидание) np_k и дисперсией (См. Дисперсия) np_k (1 — p_k). При n → ∞ совместное распределение величин

стремится к некоторому предельному нормальному распределению (См. Нормальное распределение), а сумма

(используемая в математической статистике в т. н. χ²-критерии) стремится к распределению χ² с n — 1 степенями свободы.

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., t. 1—2, М., 1967.

А. В. Прохоров.