Интерполяционные формулы

Интерполяцио́нные фо́рмулы

Формулы, дающие приближённое выражение функции у = f (x) при помощи интерполяции (См. Интерполяция), т. е. через интерполяционный многочлен Р_n(х) степени n, значения которого в заданных точках x₀, x₁, ..., х_n совпадают со значениями y₀, y₁, ..., у_n функции f в этих точках. Многочлен Р_n(х) определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

1. Интерполяционная формула Лагранжа:

Ошибка, совершенная при замене функции f (x) выражением P_n(x), не превышает по абсолютной величине

где М — максимум абсолютной величины (n + 1)-й производной f ⁿ⁺¹(x) функции f (x) на отрезке [x₀, x_n].

2. Интерполяционная формула Ньютона. Если точки x₀, x₁, ..., x_n расположены на равных расстояниях (x_k = x₀ + kh), многочлен P_n(x) можно записать так:

(здесь x₀ + th = х, а Δ^k — разности k-го порядка: Δ^k y_i = Δ^{k — 1} y_{i +1} — Δ^{k — 1}y_i). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения у, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от x₀. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений х, близких к x₀. При интерполировании функций для значений х, близких к наибольшему узлу х_n, употребляется сходная формула Ньютона для интерполирования назад. При интерполировании функций для значений x, близких к x_k, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям (см. Конечных разностей исчисление). В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).

3. Интерполяционная формула Стирлинга:

(о значении символа μ и связи центральных разностей δ^m с разностями Δ^m см. ст. Конечных разностей исчисление) применяется при интерполировании функций для значений х, близких к одному из средних узлов а; в этом случае естественно взять нечётное число узлов х_—k, ..., х_—1, x₀, x₁, ..., x_n, считая а центральным узлом x₀.

4. Интерполяционная формула Бесселя:

применяется при интерполировании функций для значений х, близких середине а между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов х_—k, ..., х_—1, x₀, x₁,..., x_k, x_{k + 1}, и располагать их симметрично относительно a (x₀ < а < x₁).

Лит. см. при ст. Интерполяция.

В. Н. Битюцков.