Липшица условие

Ли́пшица условие

Ограничение на поведение приращения функции. Если для любых точек х и х', принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенству

∣f(x) — f(x')∣ ≤ М∣х — х'∣^α

где 0 < α ≤ 1 и М — некоторая постоянная, то говорят, что функция f(x) удовлетворяет условию Липшица порядка α на отрезке [a, b], и пишут: f(x) ∈ Lipα. Каждая функция, удовлетворяющая при каком-либо α > 0 Л. у. на отрезке [а, b], равномерно непрерывна на [а, b]. Функция, имеющая на [а, b] ограниченную производную, удовлетворяет на [а, b] Л. у. с любым α ≤ 1. Л. у. впервые рассмотрел в 1864 нем. математик Р. Липшиц (R. Lipschitz; 1832 — 1903) в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье функции f(x). Иногда, исторически неправильно, связывают с именем Липшица только наиболее важный случай Л. у. с α = 1, а в случае α < 1 говорят об условии Гёльдера (см. Гёльдера неравенство).