Гаусса формулы

Га́усса формулы

Формулы, относящиеся к различным разделам математики и носящие имя К. Гаусса.

1) Квадратурные Г. ф. — формулы вида

в которых узлы x_k и коэффициенты A_k не зависят от функции f (x) и выбраны так, что формула точна (т. е. R_n = 0) для произвольного многочлена степени 2n — 1. В отличие от квадратурных формул Ньютона — Котеса, узлы в квадратурных Г. ф., вообще говоря, не являются равноотстоящими. Если р (х) ≥ 0 и

то для любого натурального n имеется единственная квадратурная Г. ф. Эти формулы имеют большое практическое значение, т.к. в ряде случаев они дают значительно большую точность, чем квадратурные формулы с тем же числом равноотстоящих узлов. Сам Гаусс исследовал (1816) случай р (х) ≡ 1.

2) Г. ф., выражающая полную кривизну (См. Полная кривизна) К поверхности через коэффициенты её линейного элемента; в координатах, для которых ds² = λ(du² + dv²), Г. ф. имеет вид

Эта формула была опубликована в 1827 и показывает, что полная кривизна не меняется при изгибании поверхности. Она составляет содержание одного из основных предложений созданной Гауссом внутренней геометрии (См. Внутренняя геометрия) поверхности.

3) Г. ф. для сумм Гаусса:

Эта формула была использована Гауссом (1801) в одном из доказательств закона взаимности квадратичных вычетов (См. Квадратичный вычет)

где р и q — нечётные простые числа, а — Лежандра символ. Она явилась первым примером применения метода тригонометрических сумм в теории чисел. Этот метод был развит далее в работах Г. Вейля (См. Вейль) и особенно И. М. Виноградова и представляет собой один из наиболее мощных методов аналитической теории чисел.

4) Г. ф. для суммы гипергеометрического ряда (См. Гипергеометрический ряд). Если Re (c — b — a) > 0, то

где Г (х) — Гамма-функция. Опубликована в 1812.

С. Б. Стечкин.