Больцмана статистика

Бо́льцмана статистика

Физическая статистика для систем из большого числа невзаимодействующих частиц. Строго Б.с. подчиняются атомные и молекулярные идеальные газы, т. е. газы, у которых потенциальная энергия взаимодействия молекул считается равной нулю. Реально к таким системам относятся разрежённые газы, молекулы которых слабо взаимодействуют друг с другом.

При большом числе частиц в системе невозможно детально описать поведение каждой частицы. Однако общие черты поведения системы в целом являются усреднённым отражением движения отдельных частиц. Частицы распределяются по возможным для них состояниям — их координаты r и импульсы р принимают определённые значения. Математически это описывается функцией распределения, характеризующей вероятность пребывания частицы в данном состоянии.

Для идеального газа молекул, находящихся в поле внешних сил, функция распределения Больцмана имеет вид:

где р²/2m — кинетическая энергия молекулы массы m, U (r) — её потенциальная энергия во внешнем поле, k — Больцмана постоянная, Т — абсолютная температура газа; постоянная А определяется из условия, что суммарное число частиц, распределённых по всем возможным состояниям, равно полному числу частиц в системе (условие нормировки). Так как величина kT характеризует среднюю энергию теплового движения молекулы, то в Б. с. распределение частиц по состояниям определяется отношением полной энергии частицы (кинетическая плюс потенциальная) к энергии её теплового движения.

Функция распределения (1) содержит два сомножителя: ехр (-р²/2mкТ) и exp (-U (r)/kT). Первый из них определяет распределение молекул по импульсам (или скоростям), т. е. является Максвелла распределением, а второй — распределение по координатам в поле внешних сил. Поэтому иногда только вторую зависимость называют распределением Больцмана, а формулу (1) называют распределением Максвелла — Больцмана.

С помощью функции распределения Больцмана легко получить формулу изменения концентрации молекул воздуха (независимо от их импульса) с изменением высоты над земной поверхностью, а следовательно, и барометрическую формулу (См. Барометрическая формула), определяющую зависимость давления воздуха от высоты.

В квантовой статистике вместо функции распределения рассматривается среднее число частиц n̅_i, находящихся в данном квантовом состоянии с энергией E_i, и распределение Больцмана выглядит следующим образом:

Постоянная А находится из условия

где N — общее число частиц в системе, и равна А = (N/V)(h²/mkT)^3/2 (V — объём газа, h — Планка постоянная). Распределение (2) является предельным случаем квантовых статистик Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака, когда можно пренебречь квантовомеханическими эффектами, связанными с взаимным влиянием тождественных частиц (см. Тождественности принцип). Оно справедливо для систем, у которых все числа n̅_i малы по сравнению с 1; это означает, что частицы проводят почти всё время в сильно различающихся состояниях и потому специфическое влияние их друг на друга не проявляется.

Квантовая Б. с. справедлива при малых плотностях газа N/V и высоких температурах (при данной массе частиц). Фактически Б. с. применима для всех разреженных молекулярных газов, т.к. масса молекул велика и квантовое воздействие тождественных частиц друг на друга должно было бы проявиться лишь при столь высоких плотностях и низких температурах, которые соответствуют твёрдому (для гелия — жидкому) состоянию вещества (а в этом случае Б. с. вообще неприменима, т.к. взаимодействие молекул велико). К электронному газу в металлах и газу световых квантов — фотонов — Б. с. неприменима (см. Статистическая физика).

Лит. см. при ст. Статистическая физика.

В. П. Павлов.