БОЛЬЦМАНА СТАТИСТИКА

Статистич. метод описания физ. св-в систем, содержащих большое число невзаимодействующих ч-ц, движущихся по законам классич. механики (т. е. св-в классич. идеального газа). Создана австр. физиком Л. Больцманом в 1868—71.

В Б. с. рассматривается распределение ч-ц идеального газа по импульсам и координатам, но не в фазовом пространстве всех ч-ц, как в статистич. механике Гиббса (см. ГИББСА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ), а в фазовом пр-ве координат и импульсов одной ч-цы (для газа одинаковых невзаимодействующих ч-ц ф-цию распределения можно представить в виде произведения ‘одночастичных’ ф-ций распределения). Согласно Б. с., фазовое пр-во разбивается на множество малых ячеек объёмом Gi, причём каждая ячейка должна содержать достаточно большое число ч-ц Ni (с энергией ?i). Фиксированное распределение ч-ц по этим ячейкам определяет микроскопич. состояние газа. Макроскопич. состояние газа полностью характеризуется набором чисел Ni. Значение Gi соответствует максимально возможному числу микроскопич. состояний в ячейке i. Для подсчёта числа возможных способов осуществления данного макроскопич. состояния объём ячейки фазового пр-ва должен быть фиксирован (в этом случае совокупность микроскопич. состояний — счётное множество). До создания квант. механики ед. фазового объёма выбиралась произвольно. С открытием квантовомеханич. неопределённостей соотношения выяснилось, что ед. объёма фазового пр-ва, имеющего шесть измерений (три координаты и три проекции импульса ч-цы), нельзя выбрать меньше h3. Т.о., современная Б. с. использует принципы квант. механики, и получаемое на основе Б.с. распределение ч-ц представляет собой частный случай квант. статистик (когда из-за малой плотности газа можно пренебречь квант. эффектами).

В Б.с. предполагается, что ч-цы распределяются по разл. состояниям независимо друг от друга и что они различимы между собой. Число различных возможных микроскопич. состояний, соответствующих заданному макроскопич. состоянию газа, наз. статистическим весом состояния. Статистич. вес определяется числом разл. способов, к-рыми можно распределить N=SiNi ч-ц по ячейкам размером Gi по NI ч-ц в каждой ячейке, и равен:

WB=N!ПiGiNi/Ni!. (1)

Здесь перестановки ч-ц в пределах каждой ячейки рассматриваются как разл. состояния. При подсчёте статистич. веса W надо, однако, учитывать, что перестановки тождественных ч-ц не меняют состояния, и поэтому WB следует уменьшить в N! раз, так что

W=Пi(GiNi/Ni!). (2)

Это правило подсчёта состояний, основанное на квантовомеханич. принципе неразличимости тождественных ч-ц, лежит в основе совр. Б. с. Только при таком определении статистич. веса возможно определить энтропию S (в ед. k) как величину, пропорц. логарифму статистич. веса:

S=lnW. (3)

Ф-ла (3) была получена амер. физиком Дж. Гиббсом ещё до создания квант. механики. Он показал, что присутствие множителя N в (1) приводит к появлению в выражении для энтропии (3) слагаемого NInN, не имеющего физ. смысла, т. к. энтропия должна быть пропорц. N (аддитивна). Все микроскопич. состояния, соответствующие данному макроскопич. состоянию, равновероятны, поэтому вероятность макроскопич. состояния пропорц. статистич. весу W. В статистич. равновесии энтропия максимальна при заданных энергии и числе ч-ц, что соответствует наиб. вероятному распределению (Больцмана распределению) . Для получения распределения Больцмана в явном виде нужно найти абс. экстремум ф-ции SiNiln(Gi/Ni)-bSi?iNi-lSiNi (b и l — множители, определяемые из условий постоянства числа ч-ц газа N=SiNi и его полной энергии ?=Si?iNi) и воспользоваться ф-лой Стирлинга InNi=Ni/(lnNi-1) при Ni->1. Для ср. чисел заполнения i-того состояния с энергией ?i распределение Больцмана имеет вид:

ni=Ni/Gi=ехр((m-?i)/kT), (4)

где m — хим. потенциал, определяемый из условия SiNi=N.

Б. с. применима к разреженным мол. газам и к плазме в газовом разряде. Для плотных газов, когда существенно вз-ствие между ч-цами, следует пользоваться распределением Гиббса.