Потенциал
I
Потенциа́л (от лат. potentia — сила)
в широком смысле — средства, запасы, источники, имеющиеся в наличии и могущие быть мобилизованы, приведены в действие, использованы для достижения определённой цели, осуществления плана, решения какой-либо задачи; возможности отдельные лица, общества, государства в определённой области: экономический П. (см. Экономический потенциал), производственный П. О применении термина «П.» в математике, физике, технике, биологии и химии см. Запаздывающий потенциал (См. Запаздывающие потенциалы), Потенциал, Потенциал действия, Потенциал повреждения, Химический потенциал, Потенциалы электромагнитного поля и др.
II
Потенциа́л
потенциальная функция, понятие, характеризующее широкий класс физических силовых полей (электрическое, гравитационное и т.п.) и вообще поля физических величин, представляемых векторами (поле скоростей в жидкости и т.п.). В электростатическое поле П. вводится как вспомогательная функция, пространственные производные которой — компоненты напряжённости электрического поля в данной точке; в гидродинамике — компоненты скорости в данной точке и т.п. При этом П. в ряде случаев имеет и др. важный физический смысл. Так, в электростатическом поле он численно равен энергии, необходимой для удаления единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность (с обратным знаком).
В общем случае П. векторного поля а (х, у, z) — скалярная функция u (х, у, z), такая, что а = grad u, т. е.
Для поля тяготения, образованного помещенной в точку A (ξ, η, ξ) точечной массой m, П. (ньютонов П.) имеет в точке Р (х, у, z) вид:
u (х, у, z) = Gm/r, (1)
где
П. u (х, у, z) — непрерывная функция во всём пространстве вместе со своими частными производными 1-го порядка; вне тела объёма Т функция u (х, у, z) удовлетворяет Лапласа уравнению (См. Лапласа уравнение), внутри — Пуассона уравнению (См. Пуассона уравнение).
Если притягивающие массы распределены с плотностью ρпов по поверхности S (простой слой), то П. образованного ими поля выражается интегралом
П. простого слоя υ(x, у, z) — непрерывная во всём пространстве функция; при пересечении поверхности S нормальная производная функции ω(х, у, z) испытывает разрыв, равный 4πG/ρпов. Неограниченно сближая две поверхности, на которых расположены простые слои с плотностями ρпов и —ρпов, и одновременно увеличивая ρпов до бесконечности, но так, чтобы был конечным предел
П. двойного слоя ω(х, у, z) — непрерывная функция во всём пространстве вне S; при пересечении поверхности S функция ω(х, у, z) испытывает разрыв, равный 4πGμ. Функции υ(х, у, z) и ω(х, у, z) удовлетворяют уравнению Лапласа.
Если тело объёма Т — бесконечный цилиндр с поперечным сечением D и плотность ρ вещества цилиндра постоянна вдоль каждой прямой, параллельной образующим цилиндра, то формула (2) приводит к понятию логарифмического потенциала:
u (х, у) =
В виде суммы П. простого и двойного слоев может быть представлена любая гармоническая функция (См. Гармонические функции); этим объясняется важность теории П.
Лит.: Гюнтер Н. М., Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики, М., 1953; Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М. — Л., 1946; Тамм И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М., 1957; Идельсон Н. И., Теория потенциала с приложениями к теории фигуры Земли и геофизике, 2 изд., Л. — М., 1936.
В. И. Битюцков.
Большая советская энциклопедия