СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ

Свойство кристаллов совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо части или комбинации этих операций. Симметрия означает возможность преобразования объекта, совмещающего его с собой. Симметрия внеш. формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, к-рая обусловливает также и симметрию физ. свойств кристалла.

Рис. 1. а — кристалл кварца: 3 — ось симметрии 3-го, порядка, 2х, 2у, 2w— оси 2-го порядка; б — кристалл водного мета-силиката натрия: m — плоскость симметрии.

На рис. 1, а изображён кристалл кварца. Внеш. его форма такова, что поворотом на 120° вокруг оси 3 он может быть совмещён сам с собой (совместимое равенство). Кристалл метасиликата натрия (рис. 1, 6) преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m (зеркальное равенство).

Если F(xlx2.x3) — функция, описывающая объект, напр. форму кристалла в трёхмерном пространстве или к.-л. его свойство, а операция g(x1, х2, х3) осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g является операцией или преобразованием симметрии, a F — симметричным объектом, если выполняются условия:

В наиболее общей формулировке симметрия — неизменность (инвариантность) объектов и законов при нек-рых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы -объекты в трёхмерном пространстве, поэтому классич. теория С. к.— теория симметрич. преобразований в себя трёхмерного пространства с учётом того, что внутр. атомная структура кристаллов — трёхмерно-периодическая, т. е. описывается как кристаллическая решётка. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жёсткое целое. Такие преобразования наз. ортогональными или изометрическими. После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерном пространстве, но также и при описании энергетич. спектра электронов кристалла (см. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ), при анализе процессов дифракции рентг. лучей и электронов в кристаллах в обратном пространстве (см. ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА) и т. п.

Группа симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, а неск. операций симметрии. Так, кристалл кварца (рис. 1, а) совмещается с собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция g1), но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g2), a также при поворотах на 180° вокруг осей 2х, 2у, 2w (операции g3, g4, g5). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии — прямая, плоскость или точка, относительно к-рой производится данная операция. Напр., ось 3 или оси 2х, 2у, 2w являются осями симметрии, плоскость m (рис. 1,6) — плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии (g1, g2, . . ., gn) данного кристалла образует группу симметрии G в смысле матем. теории групп. Последоват. проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. Всегда существует операция идентичности g0, ничего не изменяющая в кристалле, наз. отождествлением, геометрически соответствующая неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G, наз. порядком группы.

Группы симметрии классифицируют: по числу n измерений пространства, в к-рых они определены; по числу m измерений пространства, в к-рых объект периодичен (их соответственно обозначают Gnm), и по нек-рым др. признакам. Для описания кристаллов используют разл. группы симметрии, из к-рых важнейшими являются пространственные группы симметрии. G33, описывающие атомную структуру кристаллов, и точечные группы с и м м е т р и и G30, описывающие их внешнюю форму. Последние наз. также кристаллографическими классами.

Точечные группы симметрии. Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка N на угол, равный 360°/N (рис. 2, а), отражение в плоскости симметрии (зеркальное отражение; рис. 2, б), инверсия Т (симметрия относительно точки; рис. 2, в), инверсионные повороты N= (комбинация поворота на угол 360°/N с одновременной инверсией; рис. 2, г).

Рис. 2. Простейшие операции симметрии: а — поворот; б — отражение; в — инверсия; г — инверсионный поворот 4-го порядка; д — винтовой поворот 4-го порядка; е — скользящее отражение.

Вместо инверсионных поворотов иногда рассматривают зеркальные повороты N=. Геометрически возможные сочетания этих операций определяют ту или иную точечную группу симметрии, к-рая изображается обычно в стереографич. проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остаётся неподвижной — преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографич. проекции. Примеры кристаллов, относящихся к разл. точечным группам, даны на рис. 3.

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точечным группам (кристаллографическим классам): о — к классу m (одна плоскость симметрии); б — к классу с (центр симметрии); в — к классу 2 (одна ось симметрии 2-го порядка); г — к классу 6 (одна инверсионно-поворотная ось 6-го порядка).

Точечные преобразования симметрии g(x1, x2, х3)=х'1, х'2, х'3 описываются линейными ур-ниями:

т. е. матрицей коэфф, (aij). Напр., при повороте вокруг оси х1 на угол a=360°/N матрица коэфф. имеет вид:

а при отражении в плоскости х1, х2 она имеет вид:

Число точечных групп Go бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия крист. решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го; в крист. решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольников нельзя заполнить пространство без промежутков), к-рые обозначаются символами: 1, 2, 3, 4, 6, а также инверсионные оси 1 (она же — центр симметрии), 2 (она же — плоскость симметрии), 3, 4, 6. Поэтому количество точечных кристаллографич. групп симметрии, описывающих внеш. форму кристаллов, ограничено, их всего 32 (см. табл.). В междунар. обозначения точечных групп входят символы порождающих их операций симметрии. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки (с периодами о, b, с и углами a, b, g) в 7 сингоний.

Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей (группы 1-го рода). Группы, содержащие отражения или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в к-рых есть зеркально равные части (группы 2-го рода). Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах («правой» и «левой», каждая из к-рых не содержит элементов симметрии 2-го рода), но зеркально равных друг другу (см. ЭНАНТИОМОРФИЗМ).

Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечных фигур. В живой природе часто наблюдается запрещённая в кристаллографии симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше. Напр., для описания регулярной структуры сферич. вирусов, в оболочках к-рых соблюдаются принципы плотной укладки молекул, оказалась важной икосаэдрическая точечная группа 532 (см. БИОЛОГИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ).

Предельные группы. Функции, к-рые описывают зависимость разл. свойств кристалла от направления, имеют определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огранения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше неё по симметрии (Неймана принцип).

Рис. 4. Фигуры, иллюстрирующие предельные группы симметрии.

Многие из свойств кристаллов, принадлежащих к определённым точечным группам симметрии, описываются т.н. предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые символом ?. Наличие оси ? означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в т. ч. бесконечно малый угол (изотропные твёрдые тела, текстуры). Таких групп 7, они представлены на рис, 4 образцовыми фигурами и соответствующими символами. Т. о., всего имеется 32+7=39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Зная группу С. к., можно указать возможность наличия или отсутствия в нём нек-рых физ. свойств (см. КРИСТАЛЛОФИЗИКА).

Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов описывается пространств. группами симметрии G33 (наз. также фёдоровскими в честь нашедшего их в 1890 Е. С. Фёдорова). Характерными для решётки операциями являются три некомпланарных переноса а, b, с, наз. трансляциями, к-рые задают трёхмерную периодичность атомной структуры кристаллов. Сдвиг (перенос) структуры на векторы а, b, с или любой вектор t=р1a+p2b+p3c, где p1,p2, p3 — любые целые положительные или отрицательные числа, совмещает структуру кристалла с собой и, следовательно, является операцией симметрии (трансляционная симметрия).

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах G33 возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляц. компонентой — винтовые оси разл. порядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д, е). Всего известно 230 пространств. групп симметрии G33, любой кристалл относится к одной из этих групп. Трансляц. компоненты элементов микросимметрии макроскопически не проявляются, напр. винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 групп G33 макроскопически сходственна (гомоморфна) с одной из 32 точечных групп. Напр., на точечную группу mmm гомоморфно отображаются 28 пространств. групп. Совокупность переносов, присущих данной пространственной группе, есть её трансляционная подгруппа, или Браве решетка; таких решёток существует 14.

Симметрия слоев и цепей. Для описания объектов периодических в 1 или 2 направлениях, в частности фрагментов структуры кристаллов, могут быть использованы группы G32 — двумерно периодические m G31 — одномерно периодические в трёхмерном пространстве. Эти группы играют важную роль в изучении биол. структур и молекул. Напр., группы G| описывают строение биол. мембран, группы G31— цепных молекул (рис. 5, а) палочкообразных вирусов, трубчатых кристаллов глобулярных белков (рис. 5, б), в к-рых молекулы уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах G31 (см. БИОЛОГИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ).

Рис. 5. Объекты со спиральной симметрией: а — молекула ДНК; б — трубчатый кристалл белка фосфорилазы (электронно-микроскопический снимок, увеличение 220000).

Обобщённая симметрия. В основе определения симметрии лежит понятие равенства (1, б) при преобразовании (1, а). Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Напр., распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространств. симметрии, но если учесть распределение нём магн. моментов (рис. 6), то обычной», классич. симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относятся антисимметрия и цветная симметрия. В антисимметрии в дополнение к трём пространств. переменным x1, х2, x3 вводится добавочная 4-я переменная x4=±1. Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (1, а) ф-ция F может быть не только равна себе, как в (1, б), но и «антиравна» — изменить знак. Условно такую операцию можно изобразить изменением цвета (рис. 7).

Рис. 6. Распределение магнитных моментов (стрелки) в элементарной ячейке ферримагнитного кристалла, описываемое с помощью обобщённой симметрии.

Существует 58 групп точечной антисимметрии C30,а и 1651 пространств. группа антисимметрии G33,a (Ш у б н и к о в с к и х г р у п п). Если добавочная переменная приобретает не два значения, а неск. (возможны числа 3, 4, 6, 8, . . ., 48), то возникает цветная симметрия Белова. Так, известна 81 точечная группа G30,ц и 2942 группы С33,ц. Основные приложения обобщённой симметрии в кристаллографии— описание магн. структур.

Рис. 7. Фигура, описываемая точечной группой антисимметрии.

Рис. 8. Фигура, обладающая симметрией подобия.

Др. обобщения симметрии: симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием (рис. 8), криволинейная симметрия, статистич. симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твёрдых растворов, жидких кристаллов, и др.