Характеристика

Одно из основных понятий в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Роль X. проявляется в существенных свойствах этих уравнений, таких, как локальные свойства решений, разрешимость различных задач, их корректность и др. Пусть — линейный дифференциальный оператор с частными производными порядка m, a — его символ. Здесь -мультииндекс, | v |=v1+ .. .+vn, Пусть S -гиперповерхность, определенная в уравнением причем при В этом случае Sназ. характеристической поверхностью, или характеристикой, для оператора L( х, D). Другие названия X.: характеристическое многообразие, характеристическая линия (в случае Ниже рассмотрен пример задачи Коши. Пусть S — произвольная (не обязательно характеристическая) гиперповерхность в определенная уравнениями Пусть u0, ..., um-1 -функции, определенные на Sв окрестности Uточки и поставлена задача Коши относительно неизвестной функции и. Здесь f-заданная функция, L(x, D) — заданный линейный дифференциальный оператор порядка т, п — ортонормированный вектор к S. Считая, для определенности, заменой переменных приходят к уравнению Невыписанное выражение под знаком не содержит частных производных от функции ипо порядка т. Возникают два случая: В первом случае деление уравнения (2) на приводит к уравнению, разрешенному относительно старшей частной производной по переменной т. е. записанному в нормальной форме. Начальным условиям можно придать вид Такая постановка задачи Коши хорошо изучена и, напр. при аналитически заданных функциях в уравнении и в начальных условиях, существует единственное решение этой задачи в классе аналитич. ций в достаточно малой окрестности точки х 0. Во втором случае точка х 0 является характеристической, а если равенство (1) верно для всех то поверхность Sявляется X. В этом случае начальные данные не могут быть произвольными и исследование задачи Коши усложняется. Напр., для уравнения могут быть заданы начальные условия на одной из его X. x1=0: Если функция u1 отлична от постоянной, то задача Коши (3), (4) не имеет решения в пространстве С 2. Если же функция u1 постоянна, напр. равна то решение неединственно в С 2, т. к. им может быть любая функция вида u(x1, х2) = ах1 + b (х 1) + и0 (х 2). где Таким образом, задача Коши существенно различается в зависимости от того, заданы ли начальные данные на характеристической поверхности или нет. X. обладает свойством инвариантности при преобразовании независимых переменных: если есть решение уравнения (1) и если преобразование переводит удовлетворяет уравнению где Другое свойство X. таково, что относительно X. Sоператор L(x, D )является внутренним дифференциальным оператором. Эллиптические линейные дифференциальные операторы определяются как операторы, для к-рых не существует X. (действительных). Определение гиперболич. и параболич. операторов также тесно связано с понятием X. Так, линейный дифференциальный оператор 2-го порядка относится к гиперболич. типу, если он имеет два семейства X., и к параболическому, если — одно. Знание X. дифференциального уравнения позволяет свести это уравнение к более простому виду. Напр., пусть задано гиперболич. уравнение Для него уравнение X. (1) имеет вид Последнее уравнение определяет два различных семейства X.: Существуют две X. из этих семейств такие, что соответствующие им функции и определяют замену переменных по формулам и приводят уравнение (5) к канонич. виду Для нелинейного дифференциального уравнения где -мультииндексы, причем X. Sопределяется как гиперповерхность в с уравнением причем при и Символ в атом случае для оператора (6), задаваемого функцией F( х, и, v, w), определяется так: Кроме переменных хи очевидно,может зависеть от Пусть, напр., задано уравнение 1-го порядка (m = 1). Кроме того, для простоты п=2. Уравнение (6) принимает вид с функцией F(x, у, z, p, q). Уравнение X.: Т. к. решение этого уравнения фактически может зависеть от и, то ее задают в параметрич. виде причем эти функции удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям x'(t) = Fp, y'(t) = Fq, z'(t) = pFp + qFq, P'(t)=-Fx-pFz, g'(t)=-Fy-qFz. Геометрически это определяет т. н. характеристическую полосу (при Проекция этой полосы на пространство (x(t), y(t), z(t))определяет такую кривую линию в что в каждой своей точке она касается плоскости с направляющими коэффициентами p(t), q(t). Эта кривая также наз. X. уравнения (6). Лит.:[1] Мизохата С., Теория уравнений с частными производными, пер. с япон., М., 1977: [2] Камке Э., Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, пер. с нем., М., 1966; [3] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнении, пер. с англ., М., 1970; [4] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [5] К ошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М., Уравнения в частных производных математической физики, М., 1970: [6] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [7] Михлин С. Г., Курс математической физики, М., 1968; [8] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977. Ю. В. Комленко.

Источник: Математическая энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. характеристика — орф. характеристика, -и Орфографический словарь Лопатина
  2. характеристика — -и, ж. 1. Описание характерных, отличительных свойств, черт кого-, чего-л. Перед нами лежит несколько сочинений, имеющих предметом характеристику провинции и ее существеннейших интересов. Салтыков-Щедрин, Письма о провинции. Малый академический словарь
  3. характеристика — ХАРАКТЕРИСТИКА -и; ж. 1. Описание характерных, отличительных свойств, черт кого-, чего-л. Негативная х. деятельности. Что придумаете для характеристики каждого из нас? Статья содержит положительную характеристику основных законов. Толковый словарь Кузнецова
  4. характеристика — ХАРАКТЕРИСТИКА, и, ж. 1. Описание характерных, отличительных качеств, черт кого-чего-н. Блестящая х. исследования. Х. эпохи. 2. Официальный документ с отзывом о служебной, общественной деятельности кого-н. Х. с места работы. Толковый словарь Ожегова
  5. Характеристика — ХАРАКТЕРИСТИКА (Χαράσσω — черчу). Выбор из многообразия признаков, которые несет от каждого предмета или явления окружающей нас действительности наше восприятие, самого существенного, определяющего... Словарь литературных терминов
  6. характеристика — Характер/и́ст/ик/а. Морфемно-орфографический словарь
  7. характеристика — См. характер Толковый словарь Даля
  8. Характеристика — См. Логарифм. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
  9. характеристика — (официальный документ, содержащий отзыв о чьей-л. служебной и общественной деятельности) к о г о  и (во избежание двузначности) н а   к о г о . Характеристика аспиранта. Характеристика претендента на занятие должности. Управление в русском языке
  10. характеристика — ХАРАКТЕРИСТИКА и, ж. caractéristique f., пол. charakteristyka, нем. Charakteristik. 1. Описание, обрисовка, определение существенных особенностей, признаков кого-, чего-н. БАС-1. Словарь галлицизмов русского языка
  11. характеристика — Характеристики, ж. [от греч. charakter]. 1. Описание, определение отличительных свойств, достоинств и недостатков кого-чего-н. 2. Официальный документ с отзывом о служебной, общественной деятельности кого-л. 3. Целая часть десятичного логарифма (мат.). Большой словарь иностранных слов
  12. характеристика — Характеристика, характеристики, характеристики, характеристик, характеристике, характеристикам, характеристику, характеристики, характеристикой, характеристикою, характеристиками, характеристике, характеристиках Грамматический словарь Зализняка
  13. характеристика — • всесторонняя ~ • исчерпывающая ~ • яркая ~ Словарь русской идиоматики
  14. характеристика — сущ., ж., употр. сравн. часто (нет) чего? характеристики, чему? характеристике, (вижу) что? характеристику, чем? характеристикой, о чём? о характеристике; мн. что? характеристики, (нет) чего? характеристик, чему? характеристикам, (вижу) что?... Толковый словарь Дмитриева
  15. ХАРАКТЕРИСТИКА — ХАРАКТЕРИСТИКА — англ. char — acteristic; нем. Charakteristik. attestation; 1. Совокупность признаков, свойств, черт человека, предмета, явления и т. п. 2. Официальный документ о служебной, общественной и т. д. деятельности к.-л. 3. Целая часть десятичного логарифма. Социологический словарь
  16. Характеристика — I Характери́стика в математике, 1) целая часть десятичного Логарифма. 2) Понятие теории дифференциальных уравнений (См. Дифференциальные уравнения) с частными производными. Большая советская энциклопедия
  17. характеристика — характеристика ж. 1. Описание характерных, отличительных свойств, достоинств и недостатков кого-либо или чего-либо. || Результат такого описания. 2. Заключение о чьей-либо трудовой и общественной деятельности как официальный документ. Толковый словарь Ефремовой
  18. ХАРАКТЕРИСТИКА — 1) описание, определение отличительных свойств, качеств кого-либо или чего-либо; 2) официальный документ с отзывом о деятельности конкретного человека. Экономический словарь терминов
  19. ХАРАКТЕРИСТИКА — ХАРАКТЕРИСТИКА — целая часть десятичного логарифма. Напр., lg 300 = 2,4771, где 2 есть характеристика для lg 300; lg 0,3 = ,4771, где = -1 есть характеристика для lg 0,3. ХАРАКТЕРИСТИКА — .. Большой энциклопедический словарь
  20. характеристика — ХАРАКТЕР’ИСТИКА, характеристики, ·жен. (от ·греч. charakter). 1. Описание, определение отличительных свойств, достоинств и недостатков кого-чего-нибудь. «Общая характеристика коммунистического общества дана в трудах Маркса, Энгельса и Ленина.» Сталин. Толковый словарь Ушакова
  21. характеристика — сущ., кол-во синонимов: 9 автохарактеристика 1 альбедо 1 виброхарактеристика 1 колляция 1 объективка 2 референция 3 самохарактеристика 1 фича 14 ярлык 25 Словарь синонимов русского языка