Эйлера-Маклорена формула

Э́йлера-Маклорена формула

Формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:

где B_v—Бернулли числа, R_n — остаточный член. Э.—М. ф. применяется для приближённого вычисления определённых интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Например, при m = 1, р = 0, n = 2m + 1,

Э. — М. ф. даёт следующее выражение:

.

Э.—М. ф. была впервые приведена Л. Эйлером в 1738. Независимо формула была открыта позднее К. Маклореном (1742).