Самосопряжённая матрица

Самосопряжённая ма́трица

(математическая)

Матрица, совпадающая со своей сопряжённой, т. е. такая, что a_ik = , где — число, комплексно сопряжённое с а. Если элементы С. м. действительны, то она симметрическая (см. Симметрическая матрица). С. м. имеет действительные Собственные значения λ₁, λ₂,..., λ_n и соответствует линейному преобразованию в комплексном n-мерном пространстве, сводящемуся к растяжениям в |λ_i| раз по n взаимно перпендикулярным направлениям и зеркальным отражениям в плоскостях, ортогональных тем из этих направлений, для которых λ_i < 0. Билинейную форму вида , коэффициенты которой образуют С. м., называют эрмитовой формой. Всякая матрица может быть записана в виде A₁ + iA₂, где A₁ и A₂ суть С. м., а также в виде AU, где А является С. м., a U — Унитарная матрица. Если А и В суть С. м., то AB является С. м. тогда и только тогда, когда А и В перестановочны.