Рациональная функция

Рациона́льная функция

Функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами. Р. ф. имеет вид:

, (1)

где a₀, a₁, ..., a_n и b₀, b₁, ..., b_m (a₀ ≠ 0, b₀(0)— постоянные, a n и m — неотрицательные целые числа. Р. ф. определена и непрерывна для всех значений х, кроме тех, которые являются корнями (См. Корень) знаменателя Q (x). Если ξ — корень кратности k знаменателя Q (x) и одновременно корень кратности r (r ≥ k) числителя Р (х), то R (x) имеет в точке ξ устранимый разрыв; если же r < k, то R (x) имеет в точке ξ бесконечный разрыв (полюс). Многочлен является частным случаем Р. ф. (при m = 0), поэтому многочлены иногда называются целыми Р. ф.; всякая Р. ф. есть отношение двух многочленов. Др. примером Р. ф. может служить Дробно-линейная функция.

Если в формуле (1) n < m (m > 0), то Р. ф. называется правильной; если же n ≥ m, то R (x) может быть представлена в виде суммы многочлена M (x) степени n — m и правильной Р. ф. R₁(x) = :

R (x) = М (х) + R₁(x),

многочлены М (х) и P₁(x) (степень последнего меньше m) однозначно определяются из соотношения

Р (х) = M (x) Q (x) + P₁(x)

(формула деления многочлена с остатком).

Из определения Р. ф. следует, что функции, получаемые в результате конечного числа арифметических операций над Р. ф. и произвольными числами, снова являются Р. ф. В частности, Р. ф. от Р. ф. есть вновь Р. ф. Во всех точках, в которых она определена, Р. ф. дифференцируема, и её производная

также является Р. ф. Интеграл от Р. ф. сводится по предыдущему к сумме интеграла от многочлена и интеграла от правильной Р. ф. Интеграл от многочлена является многочленом и его вычисление не представляет труда. Для вычисления второго интеграла пользуются формулой разложения правильной Р. ф. R₁(x) на простейшие дроби:

где x₁, ..., x_s — различные корни многочлена Q (x) соответственно кратностей k₁, ..., k_s (k₁ + ... + k_s = m), a A_j⁽ⁱ⁾ — постоянные коэффициенты. Разложение Р. ф. на простейшие дроби (2) определяется однозначно. Если коэффициенты многочленов P₁(x) и Q (x) — действительные числа, то комплексные корни знаменателя Q (x) (в случае их существования) распадаются на пары сопряжённых, и соответствующие каждой такой паре простейшие дроби в разложении (2) могут быть объединены в вещественные простейшие дроби:

где трёхчлен x² + px + q имеет комплексно-сопряжённые корни (4q > p²).

Для определения коэффициентов A_j⁽ⁱ⁾, B_j и D_j можно воспользоваться неопределенных коэффициентов методом (См. Неопределённых коэффициентов метод). Интегралы от простейших дробей

и

не являются Р. ф

,

а интегралы от простейших дробей

и

при k > 1 являются: первый — Р. ф., а второй — суммой Р. ф. и интеграла такого же вида, как при k = 1. Т. о., интеграл от любой Р. ф. (не являющейся многочленом) представляется в виде суммы Р. ф., арктангенсов и логарифмических функций. М. В. Остроградский дал алгебраический метод определения рациональной части интеграла от Р. ф., не требующий ни разложения Р. ф. на простейшие дроби, ни интегрирования (см. Остроградского метод).

Р. ф. являются весьма важным классом элементарных функций (См. Элементарные функции). Рассматриваются также Р. ф. нескольких переменных; они получаются в результате конечного числа арифметических операций над их аргументами и произвольными числами. Так,

даёт пример Р. ф. двух переменных u и υ.

В середине 20 в. Р. ф. нашли широкое применение в вопросах приближения функций (см. Приближение и интерполирование функций).