Положительно-определённая форма

Положи́тельно-определённая форма

Выражение вида

a_ikx_ix_k,

где a_ik = a_ki, принимающее неотрицательные значения при любых действительных значениях x₁, х₂,..., x_n и обращающееся в нуль лишь при x₁ = х₂ =... = x_n = 0. Т. о., П.-о. ф. есть Квадратичная форма специального типа. Любая П.-о. ф. приводится с помощью линейного преобразования (См. Линейное преобразование) к виду

x²_i

Для того чтобы

a_ikx_ix_k

была П.-о. ф. необходимо и достаточно, чтобы Δ₁ > 0, …, Δ_n > 0, где

В любой аффинной системе координат расстояние точки от начала координат выражается П.-о. ф. от координат точки. Форма

,

(где — число, комплексно сопряжённое с x_k, см. Комплексные числа) такая, что a_ik = и f ≥ 0 для всех значений x₁, х₂,..., x_n и f = 0 лишь при x₁ = х₂ =...= x_n = 0, называется эрмитовой П.- о. ф.

С понятием П.-о. ф. связаны также понятия: 1) положительно-определённой матрицы ||a_ik|| — такой матрицы (См. Матрица), что

a_ikξ_iξ_k

есть эрмитова П.-о. ф.;

2) положительно-определённого ядра — такой функции К (х, у) = , что

для любой функции ξ(х) с интегрируемым квадратом; 3) положительно-определённой функции — такой функции f (x), что ядро К (х, у) = f (x — y) является положительно-определённым. Класс непрерывных положительно-определённых функций f (x) c f (0) = 1 совпадает с классом характеристических функций (См. Характеристическая функция) законов распределения случайных величин.