Поверхностный интеграл

Пове́рхностный интеграл

Интеграл от функции, заданной на какой-либо поверхности. К П. и. приводит, например, задача вычисления массы, распределённой по поверхности S с переменной поверхностной плотностью f (M). Для этого разбивают поверхность на части s₁, s₂,..., s_n и выбирают в каждой из них по точке M_i. Если эти части достаточно малы, то их массы приближённо равны f (M_i) s_i, а масса всей поверхности будет равна . Это значение тем ближе к точному, чем меньше части s_i. Поэтому точное значение массы поверхности есть

,

где предел берётся при условии, что размеры всех частей s_i (и их площади) стремятся к нулю. К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики. Эти пределы называют П. и. первого рода от функции f (M) по поверхности S и обозначают

.

Их вычисление приводится к вычислению двойных интегралов (см. Кратный интеграл).

В некоторых задачах физики, например при определении потока жидкости через поверхность S, встречаются пределы аналогичных сумм с той лишь разницей, что вместо площадей самих частей стоят площади их проекций на три координатные плоскости. При этом поверхность S предполагается ориентированной (т. е. указано, какое из направлений нормалей считается положительным) и площадь проекции берётся со знаком + или — в зависимости от того, является ли угол между положительным направлением нормали и осью, перпендикулярной плоскости проекций, острым или тупым. Пределы сумм такого вида называют П. и. второго рода (или П. и. по проекциям) и обозначают

.

В отличие от П. и. первого рода, знак П. и. второго рода зависит от ориентации поверхности S.

М. В. Остроградский установил важную формулу, связывающую П. и. второго рода по замкнутой поверхности S с тройным интегралом по ограниченному ею объёму V (см. Остроградского формула). Из этой формулы следует, что если функции Р, Q, R имеют непрерывные частные производные и в объёме V выполняется тождество

,

то П. и. второго рода по всем поверхностям, содержащимся в V и имеющим один и тот же контур, равны между собой. В этом случае можно найти такие функции P₁, Q₁, R₁, что

, , .

Стокса формула выражает криволинейный интеграл по замкнутому контуру через П. и. второго рода по ограниченной этим контуром поверхности.

Лит.: Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 2, М., 1973: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 2, М., 1973; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973.